অনুপাত ও সমানুপাত Ratio and Proportion

অনুপাত ও সমানুপাত ( Ratio and Proportion )


● অনুপাত ও সমানুপাত ( Ratio and Proportion )



◆◆ অনুপাত ( Ratio ): -  পাটিগণিতে দুটি বাস্তব সংখ্যার অনুপাতকে একটি ভগ্নাংশের আকারে প্রকাশ করা যায় । ভগ্নাংশের লব ও হর কে যথাক্রমে অনুপাতের পূর্বপদ ( Antecedent ) ও উত্তরপদ ( Consequent ) বলে । a ও b রাশির দুটির অনুপাতকে a : b  আকারে লেখা হয়, এবং পড়া হয় " a অনুপাত b " ( a is to b ) .

তাহলে দেখা যাচ্ছে, a:b=a/b

[b ≠ 0]

[অনুপাতের দুটি পদের মধ্যে গ.সা.গু যেন 1হয়  অর্থাৎ অনুপাতকে সবসময় সর্বনিম্ন আকারে প্রকাশ করা হয় । ]

অনুপাতের দুটি পদ সমান হতে পারে আবার নাও হতে পারে । যদি সমান হয়, যেমন a : a তাহলে তাকে বলে সাম্যানুপাত ( Ratio of equality ) । আর যদি অসমান হয় ,যেমন b : c তাহলে তাকে বলে বৈষম্যানুপাত ( Ratio of inequality ) ।



◆◆ গুরু অনুপাত ( Ratio of greater inequality ) ও লঘু অনুপাত ( Ratio of less inequality ):-

যেখানে পূর্বপদের মান উত্তরপদের মানের চেয়ে বড়ো  (a : b, a > b অর্থাৎ ab>1
) হয়, সেখানে অনুপাতকে গুরু অনুপাত ( Ratio of greater inequality ) বলে । আর পূর্বপদের মান উত্তরপদের চেয়ে ছোট (c : d, c < d অর্থাৎ ab<1

) হলে তাকে লঘু অনুপাত ( Ratio of less inequality ) বলে ।

[ কোনো  অনুপাতের পদ দুটিকে শূন্য ব্যতীত একই সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ করলে অনুপাতের কোন পরিবর্তন  হয় না ]



◆◆ ব্যস্ত-অনুপাত ( Inverse ratio ):-

দুটি অনুপাতের মধ্যে যদি প্রথমটির পূর্বপদ দ্বিতীয়টির উত্তরপদের সমান হয় এবং দ্বিতীয়টির পূর্বপদ প্রথমটির উত্তরপদের সমান হয়, তাহলে একটিকে অপরটির ব্যস্ত-অনুপাত ( Inverse ratio ) বলে ।

যেমন a : b এর ব্যস্ত-অনুপাত হবে b : a ।

[ব্যস্ত-অনুপাতে দুটি অনুপাতকে ভগ্নাংশের আকারে প্রকাশ করলে ওরা পরস্পরের অন্যোন্যক  হবে ]



◆◆ যৌগিক বা মিশ্র-অনুপাত ( Composition of ratio ):

দুই বা  ততোধিক অনুপাতের পূর্বপদগুলির এবং উত্তরপদগুলির গুণফলকে অনুপাতের আকারে প্রকাশ করলে যে অনুপাত পাওয়া যায় তাকে  যৌগিক বা মিশ্র-অনুপাত ( Composition of ratio ) বলে ।

যেমন, a : b, c : d এবং  e : f অনুপাতের যৌগিক বা মিশ্র-অনুপাত হবে a x c x e : b x d x f ।





◆◆ সমানুপাত ( Proportion ): - দুটি অনুপাত পরস্পর সমান হলে তাদের সমানুপাত বলে । যেমন 4 টাকা : 6 টাকা = 2 : 3; আবার 8 গ্রাম : 12 গ্রাম = 2 : 3; সুতরাং 4 টাকা : 6 টাকা ও 8 গ্রাম : 12 গ্রাম হলো সমান অনুপাত এদেরকে সমানুপাত বলে । সমানুপাতের পদগুলিকে সমানুপাতী বলে । a : b = c : d এখানে a, b, c এবং d কে সমানুপাতী বলে । সমানুপাতকে a : b : : c : d আকারে প্রকাশ করা হয়.সমানুপাতের প্রথম ও চতুর্থ পদকে বলা হয় প্রান্তীয় পদ ( extremes or end-terms ) এবং মাঝের পদগুলিকে বলে মধ্যপদ ( means or middle terms )। এখানে a এবং d কে বলে প্রান্তীয় পদ ও  b এবং c কে  বলে মধ্যপদ । আবার d কে a, b, c এর চতুর্থ সমানুপাতী বলে ।



◆◆ ক্রমিক সমানুপাতী ( Continued Proportion):

যদি a : b :: b : c হয় অর্থাৎ a/b=b/c

হয় তবে a, b, c কে ক্রমিক সমানুপাতী ( Continued Proportion) বলে । b কে a ও c এর মধ্য সমানুপাতী ( Mean Proportional ) বলে ।

এখন দেখা যাচ্ছে a , b ও c ক্রমিক সমানুপাতে থাকবে যদি তাদেরকে ac=b2

আকারে থাকে । অর্থাৎ তিনটি পদ ক্রমিক সমানুপাতী হলে প্রথম ও তৃতীয় পদের গুণফল মধ্য পদের বর্গের সমান হয় ।

[তিনটির অধিক পদও ক্রমিক সমানুপাতী হতে পারে । যদি a/b=b/c=c/d

হয় তবে a, b, c, d ক্রমিক সমানুপাতী । ]

সমানুপাতের কয়েকটি প্রয়োজনীয় ধর্ম ( Some Important Properties of Proportion ) :

(১) একান্তর প্রক্রিয়া ( Alter nendo ):

a : b = c : d হলে, a : c = b : d হবে

প্রমাণ :

a:b=c:d⇒ab=cd⇒ab×bc=cd×bc⇒ac=bd



[ প্রমাণিত ]

(২) বিপরীত বা ব্যস্ত-প্রক্রিয়া ( Invertendo )

a : b = c : d হলে, b : a = d : c হবে

প্রমাণ :

ab=cd

1. উভয়পক্ষে ab
এবং cd

দিয়ে ভাগ করে পাই,

1÷ab=1÷cd⇒ba=dc

অতএব

ab=cd⇒ba=dc∴a:b=c:d⇒b:a=d:c

[ প্রমাণিত ]

(৩) যোগ প্রক্রিয়া ( Componendo )

a : b = c : d হলে , ( a + b ) : b = ( c + d ) : d হবে।

প্রমাণ :

a:b=c:d⇒ab=cd⇒ab+1=cd+1⇒a+bb=c+dd⇒(a+b):b=(c+d):d

[ প্রমাণিত ]

(৪) ভাগ প্রক্রিয়া ( Dividendo )

a : b = c : d হলে, ( a - b ) : b = ( c - d ) : d হবে।

প্রমাণ :

a:b=c:d⇒ab=cd⇒ab−1=cd−1⇒a−bb=c−dd⇒(a−b):b=(c−d):d

[প্রমাণিত ]

(৫) যোগ-ভাগ প্রক্রিয়া ( Componendo and Dividendo )

a : b = c : d হলে, ( a + b ) : ( a - b ) = ( c + d ) : ( c - d ) হবে

প্রমাণ :

a:b=c:d

⇒ab=cd

[যোগ ও ভাগ প্রক্রিয়া করে পাই ]

⇒a+ba−b=c+dc−d

⇒(a+b):(a−c)=(c+d):(c−d)



[প্রমাণিত ]

বিকল্প প্রমাণ :

মনে করি

ab=cd=k

অতএব a = bk এবং c = dk

এবার

a+ba−b=bk+bbk−b=k+1k−1

আবার

c+dc−d=dk+ddk−d=k+1k−1

∴a+ba−b=c+dc−d

(৬) সংযোজন প্রক্রিয়া ( Addendo )

a : b = c : d = e : f হলে, প্রতিটি অনুপাতের মান ( a + c + e ) : ( b+ d + f ) হবে, অর্থাৎ

ab=cd=ef=a+c+eb+d+f

সাধারণভাবে

ab=cd=ef=.........=a+c+e+........b+d+f+.......

প্রমাণ :

মনে করি

ab=cd=ef=k

অতএব a = bk , c = dk , e = fk

এবার

a+c+eb+d+f=bk+dk+fkb+d+f=k(b+d+f)(b+d+f)=k∴ab=cd=ef=k=a+c+eb+d+f

( প্রমাণিত )

মন্তব্য :

ab=cd=ef=..........=a+c+e+.........b+d+f+........,[b,d,f,.......≠0]