গ.সা.গু. ও ল.সা.গু. H.C.F and L.C.M

গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক ও লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক বা গ.সা.গু. ও ল.সা.গু.( Highest Common Factor and Lowest Common Multiple  or H.C.F and L.C.M  )



                                গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক বা গ.সা.গু. ( Highest Common Factor or H.C.F )



ভূমিকা ( Introduction )

  আমরা পাটীগণিতে গ .সা .গু  নির্ণয় করেছি। বীজগণিতে রাশির গ .সা .গু নির্ণয়েও পাটিগণিতের সঙ্গে মূলত কোনো পার্থক্য নেই। আমরা জানি দুটি বা ততোধিক সংখ্যার একই গুণনীয়ক থাকলে ওই গুণনীয়ককে সংখ্যা গুলির সাধারণ গুণনীয়ক বলে। যে গুণনীয়ককে আর কোনো গুণনীয়কে বিশ্লেষণ করা যায় না তাকে মৌলিক গুণনীয়ক বলে। গুণনীয়ক দ্বারা সংখ্যাগুলি সর্বদা বিভাজ্য।

     যেমন: মনে করি দুটি সংখ্যা হল 18 এবং 24. 18 এর গুণনীয়ক গুলি হল 1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 18 এবং 24 এর গুণনীয়গুলি হল 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 12 ,  24 .অতএব .18 এবং 24 এর সাধারণ গুণনীয়ক হল 1 , 2 , 3 , 6 . এই সাধারণ গুণনীয়ক গুলির মধ্যে সবচেয়ে বড় সংখ্যাটি হল 6. অতএব 18 এবং 24 এর গরিষ্ট সাধারণ গুণনীয়ক অর্থাৎ গ .সা .গু হল 6 .লক্ষ করো  6 হল 2 ও 3 দুটি মৌলিক সংখ্যার গুনফল।

    বীজগণিতের ক্ষেত্রে প্রায় অনুরূপ নিয়মে গরিষ্ট সাধারণ গুণনীয়ক অর্থাৎ গ .সা .গু নির্ণয় করা হয়।



সাধারণ গুণনীয়ক বা সাধারণ উৎপাদক ( Common Factor ) :- দুই বা ততোধিক বীজগাণিতিক রাশি অপর কোনো রাশি দ্বারা সম্পূর্ণ বিভাজিত হলে শেষাক্ত রাশিটিকে ওই দুই বা ততোধিক বীজগণিতীয় রাশির সাধারণ গুণনীয়ক বা সাধারণ উৎপাদক বলে।



গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক বা গ.সা.গু. ( Highest Common Factor or H.C.F ):-  দুই বা ততোধিক রাশির মধ্যে যতগুলি সাধারণ মৌলিক গুণনীয়ক থাকে তাদের গুণফলকে পূর্বোক্ত রাশিদুটির গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক বা গ.সা.গু. ( Highest Common Factor or H.C.F ) বলে।

যেমন: মনে করি দুটি বীজগণিতীয় রাশি হল ab²,a²bc
.ab2 এর গুণনীয়ক গুলি হল a,ab,b,ab² এবংa,ab,b,ab²,b² এর গুণনীয়ক গুলি হল a,ab,abc,b,a²,a²b,bc,a²bc. সাধারণ গুণনীয়ক গুলি হল a,ab,b. অতএব এদের  গ.সা.গু. হল ab .

গ .সা .গু নির্ণয় প্রণালী


উদাহরণ : 16a²b³x⁴y⁵,40a³b²x³y⁴,24a⁵b⁵x⁶y⁴

এর গ .সা .গু  নির্ণয় করতে হবে।

16 , 40 , 24 এর গ .সা .গু হল = 8 . এখানে a , b , x ,y হল সাধারণ মৌলিক গুণনীয়ক। এদের উচ্চতম ঘাত যা রাশিগুলিকে সম্পূর্ণরূপে ভাগ করে তা হল a²,b²,x³,y⁴

.

অতএব নির্ণেয়  গ .সা .গু হল = 8a²b²x³y⁴

উদাহরণ : x³−5x²+6x,x³+4x²−12x,x³−9x²+14x

এদের গ .সা .গু  নির্ণয় করতে হবে।

প্রথম রাশি থেকে পাই

x³−5x²+6x=x(x²−5x+6)=x(x²−3x−2x+6)=x(x−3)(x−2)

দ্বিতীয় রাশি থেকে পাই

x³+4x²−12x=x(x²+4x−12)=x(x²+6x−2x−12)=x(x+6)(x−2)

তৃতীয় রাশি থেকে পাই

x³−9x²+14x=x(x²−9x+14)=x(x²−7x−2x+14)=x(x−7)(x−2)

অতএব নির্ণেয় গ .সা .গু হবে = x(x−2)

ভাগ প্রক্রিয়ার সাহায্যে গ .সা .গু নির্ণয় :-

পাটীগণিতে দুই বা ততোধিক রাশির গ .সা .গু আমরা যে ভাবে ভাগ প্রক্রিয়ার সাহায্যে নির্ণয় করে থাকি বীজগণিত ঠিক একই ভাবে ভাগ প্রক্রিয়ার সাহায্যে নির্ণয় করা হয়। দুটি রাশির একটিকে অপরটি দিয়ে ভাগ করলে যে ভাগশেষ থাকে , তা দিয়ে প্রথম ভাজকটিকে আবার ভাগ করতে হবে। এই ভাগ প্রক্রিয়ায় যে ভাগশেষ থাকবে তা দিয়ে আবার দ্বিতীয় ভাজকটিকে ভাগ করতে হবে। এইভাবে অগ্রসর হওয়ার পর যখন আর কোনো ভাগশেষ থাকবেনা , তখন শেষ ভাজকটিকে ওই দুটি রাশির গ .সা .গু বলে। দুটি রাশির পরিবর্তে যদি তিনটি রাশি থাকে , তাহলে শেষ ভাজকটিকে দিয়ে তৃতীয় রাশিটিকে ভাগ করতে হবে। এই ভাগ প্রক্রিয়া চলতে থাকবে যতক্ষণ না ভাগশেষ শুন্য হয়। ভাগপ্রক্রিয়ার শেষে যে ভাজকটি পাওয়া যাবে ,তাকে ওই তিনটি রাশির গ .সা .গু বলে। মনে রাখার বিষয় ভাগ প্রক্রিয়া সম্পন্ন করার সময় ভাগের সাধারণ নিয়ম মেনে চলতে হবে। অর্থাৎ ভাজ্য ও ভাজক উভয় রাশিকে যেকোন একটি অক্ষরের ঘাতের উর্ধক্রম বা অধঃক্রম অনুসারে সাজিয়ে নিতে হবে।

মন্তব্য : গ .সা .গু সাধারণত উৎপাদক বিশ্লেষণ পদ্ধতিতে করা হয়। যে সবক্ষেত্রে রাশিকে সহজে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যায়না তাদের ভাগ প্রক্রিয়ার সাহায্যে করা হয়।

লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক বা ল.সা.গু ( Lowest Common Multiple or L.C.M )



ভূমিকা ( Introduction )

কোন একটি রাশি অপর একটি রাশি দ্বারা সম্পূর্ণরূপে বিভাজিত হলে প্রথম রাশিটিকে শেষের রাশির গুণিতক বলে। যেমন পাটীগণিতে 24 সংখ্যাটি 1, 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 12 ইত্যাদি সংখ্যাগুলি দ্বারা বিভাজিত হয়। তাই 24 সংখ্যাকে1, 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 12 সংখ্যাগুলির গুণিতক বলে। অনুরূপভাবে বীজগণিতে x³y রাশিটি x,x²,x³,xy,y ইত্যাদি রাশি দ্বারা বিভাজিত হয়।, তাই x³y রাশিটিকে x,x²,x³,xy,yইত্যাদি রাশির গুণিতক বলে।

যদি কোন রাশি দুই বা ততোধিক রাশির প্রত্যেকটি দিয়ে সম্পূর্ণ বিভাজিত হয় তাহলে প্রথমোক্ত রাশিটিকে শেষোক্ত রাশি দুটির বা রাশিসমূহের সাধারণ গুণিতক বলে। যেমন: xy,x²y,xy²
এই তিনটি রাশির একটি সাধারণ গুণিতক হল x²y² , কারণ x²y² ওই তিনটি রাশির প্রত্যেকটি দ্বারা বিভাজ্য।

লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক বা ল.সা.গু ( Lowest Common Multiple or L.C.M ):- দুই বা ততোধিক রাশি দিয়ে যে রাশি সম্পূর্ণ রূপে বিভাজ্য , তাদের মধ্যে সর্বনিম্ন মাত্রা বিশিষ্ট রাশিকে দুই বা ততোধিক রাশিগুলির লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক বা ল.সা.গু ( Lowest Common Multiple or L.C.M ) বলে।

উপরের উদাহরণ থেকে দেখা যাচ্ছে যে x²y²
এই রাশিটি xy,x²y,xy² এই রাশিগুলির সাধারণ গুণিতক। xy,x²y,xy² রাশিগুলির আরো অন্যান্য গুণিতক গুলি হল x³y²,x³y²,x²y³,x⁴y⁴ ইত্যাদি। দেখা যাচ্ছে যে x²y² রাশির মান অন্যান্য রাশিগুলির মানের চেয়ে কম। তাই x²y² এই রাশিটিকে xy,x²y,xy² এই রাশিগুলির লঘিষ্ট সাধারণ গুণিতক বা সংক্ষেপে ল .সা .গু বলে।

ল .সা .গু নির্ণয় পদ্ধতি

প্রত্যেক রাশিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে , উক্ত উৎপাদকগুলির প্রত্যেকটির যে মাত্রা রাশিগুলির মধ্যে সর্বোচ্চ তাদের গুণফলই রাশিগুলির ল .সা .গু হবে। সংখ্যা সহগ গুলির ল সা গু ই নির্ণেয় ল .সা .গু -র সংখ্যা সহগ হবে।

উদাহরণ : 5x³y²z,10x⁴y³z²,15y³z

এর ল .সা .গু নির্ণয় করো।

5 , 10 , 15 এর ল .সা .গু হল = 30.

x³,x⁴
এর ল .সা .গু হল = x⁴

y²,y³,y³ এর ল .সা .গু হল = y³

z,z²,z এর ল .সা .গু হল = z²

অতএব নির্ণেয় ল .সা .গু হল = 30x⁴y³z²

উদাহরণ :

x³−5x²+6x,x³+4x²−12x,x³−9x²+14x

এদের ল .সা .গু নির্ণয় করতে হবে।

প্রথম রাশি থেকে পাই

x³−5x²+6x=x(x²−5x+6)=x(x²−3x−2x+6)=x(x−3)(x−2)

দ্বিতীয় রাশি থেকে পাই

x³+4x²−12x=x(x²+4x−12)=x(x²+6x−2x−12)=x(x+6)(x−2)

তৃতীয় রাশি থেকে পাই

x³−9x²+14x=x(x²−9x+14)=x(x²−7x−2x+14)=x(x−7)(x−2)

অতএব নির্ণেয় ল .সা .গু হবে = x(x−2)(x−3)(x+6)(x−7)