ত্রিকোণামিতি (Trigonometry)

ত্রিকোণামিতি (Trigonometry)

সূচনা ( Introduction )

ত্রিকোণমিতি বিষয়টি কী এবং কেন এর প্রয়োজনীতা তা আমাদের মধ্যে এই প্রশ্ন গুলি আসে। আমরা জানি " Necessity is the mother of invention " . প্রয়োজনের তাগিদ বড়ো তাগিদ। তাই গণিতের একটি বিশেষ শাখা ত্রিকোণমিতির জন্মের পিছনে প্রয়োজনের তাগিদ খুঁজলে বোধ হয় অন্যায় হবে না। কিন্তু কী সেই তাগিদ ?

প্রকৃতিতে মানুষ যা দেখতে পায় তা সব কিছু সে যাচাই করে নিতে চায় , তা সে হাতের কাছের গাছপালা , ফলমূল , জীবজন্তু থেকে আরম্ভ করে দূর দিগন্তের সূর্য , চন্দ্র , গ্রহ , নক্ষত্র , দুরারোহ পর্বতশৃঙ্গ , বিস্তীর্ন সমুদ্র , নদনদী যাই হোকনা কেন। এক সময় মানুষ তার হাতের কাছের সব জিনিস মাপতে শিখেছে , জ্যামিতির না না বস্তুর সাহায্যে বিভিন্ন বস্তুর আকৃতি বুঝতে শিখেছে , পরিমাপ করতে শিখেছে তাদের দৈর্ঘ্য , প্রস্থ , বেদ ইত্যাদি। আবার তারই সাহায্যে সে হাতের নাগালের বাইরের জিনিস যেমন গ্রহ , নক্ষত্র , সূর্য - চন্দ্র ইত্যাদির আকার আয়তন , দূরত্ব ইত্যাদির পরিমাপ করার এবং তাদের গতিসূত্র জানার চেষ্টা চালিয়েছে অনবরত। সেই প্রচেষ্টার ফলে গণিতজ্ঞরা পিরামিডের মাথায় না উঠেও মাটিতে দাঁড়িয়ে তার উচ্চতা নির্ণয় করে ছিলেন। এই ধরণের সমস্যার গাণিতিক সমাধান কিভাবে করা যায় তা ত্রিকোণমিতির অধ্যায়ে আমরা আলোচনা করব।

নিচের চিত্রে দেখানো হয়েছে OP একটি লাইট পোস্ট। এর উচ্চতা আমাদের নির্ণয় করতে হবে।

[You must be registered and logged in to see this link.]

লাইট পোস্ট থেকে কিছু দূরে লাইট পোস্টের ভূমির সমতলে AB একটি খুঁটি পোতা হল। B কে কেন্দ্র করে AB এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে মাটিতে একটি বৃত্ত আঁকা হল। সকালের দিকে যখন সূর্য উঠছে তখন দেখা যাবে লাইট পোস্ট ও খুঁটির উভয়ের লম্বা ছায়া পড়েছে। সূর্য যত উপরে উঠতে থাকবে ছায়াও তত ছোট হতে থাকবে। এক সময় দেখা যাবে AB খুঁটির ছায়ার অগ্রভাগ , অর্থাৎ A বিন্দুর ছায়া C বিন্দুর সঙ্গে মিলে যাবে আর সেই সময়ে লাইট পোস্টের P বিন্দুর ছায়া M বিন্দুতে পড়েছে।

এখন M বিন্দু থেকে লাইট পোস্টের পাদদেশ O এর দূরত্ব OM যা আমরা মাপতে পারি। আবার OM = OP . সুতরাং OM এর পরিমাপ করে আমরা লাইট পোস্টের উচ্চতা নির্ণয় করতে পারি। এখানে যে তত্ত্ব টি প্রয়োগ করা হয়েছে তা হল সদৃশকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলি অনুপাতের সমতার তত্ত্ব।

আমরা জানি বহুদূর থেকে আগত সূর্যরাশি কার্যত সমান্তরাল। সুতরাং PM।। AC . সুতরাং ∠PMO=∠ACB

অতএব সমকোণী ত্রিভুজ ABC সদৃশকোণী।

সমকোণী ত্রিভুজ ABC তে AB = BC . কারণ AB এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্ত টি আঁকা হয়েছে এবং BC বৃত্তের ব্যাসার্ধ।

সুতরাং AB/BC=1

আবার যেহেতু ত্রিভুজ ABC ও ত্রিভুজ PMO সদৃশকোণী

অতএব PO/OM=AB/BC=1

সুতরাং PO = OM

তাহলে দেখা যাচ্ছে লাইট পোস্টের চূড়ায় না উঠেও মাটিতে দাঁড়িয়ে পোস্টের উচ্চতা নির্ণয় করা যায়।

কোণের পরিমাপ ( Measurement of angle )

যেহেতু ত্রিকোণমিতি নামক গণিতের এই বিশেষ শাখা প্রধানত সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষকোণ দুটির পরিপেক্ষিতে বাহুগুলির অনুপাতের উপর প্রতিষ্ঠিত তাই প্রথমেই কোণ সম্পর্কে বিস্তারিত আলোচনার প্রয়োজন।



কোণ কাকে বলে ? ( What is angle )
[You must be registered and logged in to see this link.]

(i) দুটি রেখা একটি বিন্দুতে মিলিত হলে ওই বিন্দুতে একটি কোণ উৎপন্ন হয়। যেমন পাশের চিত্রে AB ও BC দুটি রেখা B বিন্দুতে মিলিত হয়েছে , তারফলে B বিন্দুতে ∠ABC কোণ উৎপন্ন হয়েছে। ∠ABC কে আমরা জ্যামিতিক কোণ বলি।

একটি রেখাকে তার প্রান্ত বিন্দু স্থির রেখে যদি ঘড়ির কাঁটার বিপরীতদিকে ঘোরানো হয় , তবে সেই রেখার প্রথম অবস্থানের সঙ্গে তার পরবর্তী প্রতিটি অবস্থান সেই প্রান্তবিন্দুতে এক একটি কোণ উৎপন্ন করে।


[You must be registered and logged in to see this link.]


পাশের চিত্রে OA রেখাটিকে তার প্রান্তীয় বিন্দু O কে স্থির রেখে ঘড়ির কাঁটার বিপরীতদিকে ঘুরিয়ে OB , OC , OD অবস্থানে নিয়ে গেলে , প্রথম অবস্থানের সঙ্গে এই অবস্থানগুলি যথাক্রমে ∠BOA,∠COA,∠DOA

কোণ উৎপন্ন করে। এই কোণ গুলিকে ত্রিকোণমিতি কোণ বলে।

আগের আলোচনা থেকে বোঝাযাচ্ছে জ্যামিতিক কোণের পরিমাপই মূল বিচার্য বিষয়। জ্যামিতিক কোণের পরিমাপ 0∘
থেকে 360∘ পর্যন্ত যেকোনো মানের হতে পারে , কিন্তু তার চেয়ে বড়ো হতে পারেনা। অর্থাৎ ঘূর্ণিয়মান রেখাটি এক পাক ঘুরে এসে তার প্রথম অবস্থানের সঙ্গে মিশলে 360∘ কোণ উৎপন্ন হয়।
[You must be registered and logged in to see this link.]


ত্রিকোণমিতির কোণের ক্ষেত্রে ঘূর্ণিয়মান রেখার দিক ও তার ফলে সৃষ্টি কোণের পরিমান উভয়ই বিচার করা হয়। ঘূর্ণিয়মান রেখাটি ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘুরলে কোণ উৎপন্ন হয় তাকে ধনাত্মক কোণ ( Positive angle ) বলে। বিপরীতক্রমে ঘূর্ণিয়মান রেখাটি ঘড়ির কাঁটার দিকে ঘুরলে যে কোণ উৎপন্ন হয় তাকে ঋণাত্মক কোণ ( Negative angle ) বলে।

[You must be registered and logged in to see this link.]

পাশের চিত্রে OA রেখাটি ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘুরে OB এবং OC অবস্থানে গিয়ে OA রেখার সাথে O বিন্দুতে যথাক্রমে +θ∘
এবং +α∘

কোণ উৎপন্ন করেছে।

আবার ডানপাশের চিত্রে OA রেখাটি ঘড়ির কাঁটার দিকে ঘুরে A1
এবং A2 অবস্থানে গিয়ে পূর্ব অবস্থান অর্থাৎ OA অবস্থানের সঙ্গে যথাক্রমে −θ এবং −α

কোণ উৎপন্ন করেছে।

জ্যামিতিক কোণের  ক্ষেত্রে রেখাটি একপাক সম্পূর্ণ ঘোরার পর আবার ঘুরতে শুরু করলে কোণের মান নতুন করে 0∘ থেকে বাড়তে শুরু করবে। তারপর একপাক সম্পূর্ণ করলে আবার 360∘ হবে। কিন্তু কোণের মান কখনই 360∘

এর বেশি হবেনা। এখানে আবার উল্লেখ করছি জ্যামিতিক কোণের ক্ষেত্রে রেখাটি ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘুরছে কিনা তা বিচার্য বিষয় নয়।  
[You must be registered and logged in to see this link.]


ত্রিকোণমিতিক কোণ 0∘ থেকে শুরু করে যেকোনো পরিমাপ হতে পারে , এমনকি ঋণাত্মকও। ঘূর্ণিয়মান রেখাটি ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে যতবার পাক খাবে , কোণের পরিমান ততবার 360∘ করে বেড়ে যাবে। আবার রেখাটি ঘড়ির কাঁটার দিকে যতবার পাক খাবে কোণের মান তত 360∘ করে কমে যাবে।



কোণের পরিমাপের বিভিন্ন পদ্ধতি

কোণের পরিমাপ সাধারণত দুটি পদ্ধতিতে করা হয়

   ষষ্ঠিক পদ্ধতি
   বৃত্তীয় পদ্ধতি

ষষ্ঠিক পদ্ধতি

 এই পদ্ধতিতে ঘূর্ণিয়মান রেখাটি পুরো একপাক ঘুরে এলে যে কোণ উৎপন্ন হয় তাকে 360∘
ধরে তার চার ভাগের একভাগকে 90∘ বা এক সমকোণ ধরা হয়। এক সমকোণ বা 90∘ এর 190 অংশকে 1∘

ধরা হয়। এই পদ্ধতিতে অন্যান্য নিম্ন এককগুলি হল মিনিট ও সেকেন্ড। এদের মধ্যে সম্পর্ক নিচে দেওয়া হল

এক সমকোণ = 90^∘ ( ডিগ্রি )

1^∘ ( ডিগ্রি ) = 60' ( মিনিট )

1' ( মিনিট ) = 60'' ( সেকেন্ড )

বৃত্তীয় পদ্ধতি

যেকোনো একটি বৃত্তের পরিধি ও বৃত্তের ব্যাসার্ধের মধ্যে যে ধ্রূবক সম্পর্কটি রয়েছে তার উপর ভিত্তি করে এই পদ্ধতির একক নির্ধারিত হয়েছে।
[You must be registered and logged in to see this link.]


পাশের ক্ষেত্রে তিনটি এক কেন্দ্রীয় বৃত্ত রয়েছে। সবচেয়ে ছোট বৃত্তটির পরিধি থেকে বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান দৈঘ্যের একটি বৃত্তচাপ AD কেটে নয়া হল। এবার AO এবং AD যুক্ত করলে ∠AOD

কোণ পাওয়া যাবে , যা হল বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান দৈর্ঘের চাপের উপরে অবস্থিত কেন্দ্রস্থ একটি কোণ।

এবার OA এবং OD কে বর্ধিত করলে তা অন্য দুটি বৃত্তকে যথাক্রমে B , C এবং E , F বিন্দুতে ছেদ করবে। মেপে দেখলে দেখা যাবে দুটি বৃত্তচাপ BE এবং CF এর দৈর্ঘ্য সংশ্লিট বৃত্তের ব্যাসার্ধ্যের সমান ; অর্থাৎ ∠BOE এবং ∠COF ও সংশ্লিট বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান দৈঘ্যের চাপের উপরে অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ।

এর থেকে এই সিন্ধান্ত করা যায় যেকোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট চাপ সবসময় কেন্দ্রে একটি নিদিষ্ট পরিমান কোণ ধারণ করে। এই কোণের পরিমানকেই বৃত্তীয় পদ্ধতিতে একক ধরা হয় এবং তাকে এক রেডিয়ান বলা হয়। ইহাকে প্রকাশ করা হয় 1^c

চিহ্নের সাহায্যে।

[You must be registered and logged in to see this link.]

রেডিয়ান একটি ধ্রূবক কোণ :- মনে করি O হল একটি বৃত্তের কেন্দ্র এবং তার ব্যাসার্ধ OA = r ; OA ব্যাসার্ধের সমান একটি চাপ AB নিলে সংজ্ঞানুসারে ∠AOB=1
রেডিয়ান। এখন OA রেখাটিকে বর্ধিত করলে রেখাটি বৃত্তের C বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে ABC চাপ বৃত্ত পরিধির অর্ধেক এবং সেই চাপ দ্বারা ধৃত কেন্দ্রস্থ কোণre ∠AOC= এক সরলকোণ = দুই সমকোণ।

এখন উপরের দুটি চাপ এবং দুটি কোণের অনুপাত করলে আমরা পাই

abc =r12×2πr=1π

এবং ∠AOB∠AOC=1c2⊥

[You must be registered and logged in to see this link.]


এখানে ⊥=1

সমকোণ। কিন্তু জ্যামিতিতে দেখা যায় যেকোনো বৃত্তে বিভিন্ন চাপের দ্বারা ধৃত কেন্দ্রস্থ কোণগুলির অনুপাত সেই সব চাপের দৈর্ঘ্যের অনুপাতের সমান। সুতরাং

abc =∠AOB∠AOC

অতএব 1c2⊥=1π

অতএব 1 রেডিয়ান = 1/π×2
সমকোণ এবং এই মানটি একটি ধ্রূবক সংখ্যা কারণ 2 সমকোণ এবং π উভয়েই ধ্রূবক। গণনার সুবিধার জন্য π এর আসন্ন মান 22/7

নেওয়া হয়।





পদ্ধতি দুটির এককবলির সম্পর্ক
ষষ্ঠিক পদ্ধতি বৃত্তীয় পদ্ধতি
360∘ = 2π^c
180∘ = π^c
90∘ = π^c/2

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত ( Trigonometrical Ratios )

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত নির্ণয়



মনে করি AO রেখাটি ঘড়ির কাঁটার বিপরীতদিকে ঘুরে OB অবস্থানে এসে OA রেখার সঙ্গে ∠AOB

কোণ উৎপন্ন করেছে। এবার কোণের OB বাহুর উপরে P , Q , R .... যেকোনো সংখ্যক বিন্দু নিয়ে OA বাহুর উপরে যথাক্রমে PX , QY , RZ , ..... লম্ব টানা হল। ফলে XOP , YOQ , ZOR ... যে সমকোণী ত্রিভুজ পাওয়া গেল তারা পরস্পর সদৃশ। এবার সদৃশ ত্রিভুজের ধর্ম থেকে আমরা পাই

(i) PX/OP=QY/OQ=RZ/OR=.....

(ii) OX/OP=OY/OQ=OZ/OR=.....

(iii) PX/OX=QY/OY=RZ/OZ=.....

(iv) OP/PX=OQ/QY=OR/RZ=.....

(v) OP/OX=OQ/OY=OR/OZ=......

(vi) OX/PX=OY/QY=OZ/RZ=.....

তাহলে দেখা যাচ্ছে এক প্রস্থ সদৃশ সমকোণী ত্রিভুজের কোনো একটি সূক্ষকোণের সাপেক্ষে

(i) লম্ব : অতিভুজ বা লম্ব এবং অতিভুজের অনুপাত গুলি সমান , অনুরূপে (ii) ভূমি : অতিভুজ বা ভূমি এবং অতিভুজের অনুপাত , (iii) লম্ব : অতিভুজ বা লম্ব এবং অতিভুজের অনুপাত গুলি পরস্পর সমান। সুতরাং বলা যায় অনুপাত গুলির মান ত্রিভুজগুলির বাহুর দৈর্ঘ্যের উপর নির্ভরশীল নয়। অনুপাতগুলির মান সম্পূর্ণরূপে সূক্ষকোণটির পরিমানের উপর নির্ভরশীল।

যেহেতু ত্রিভুজগুলি প্রত্যেকটি সমকোণী ত্রিভুজ এবং তাদের একটি সাধারণ সূক্ষকোণ θ
তাই এই ঘটনা ঘটেছে। সাধারণ সূক্ষকোণ θ

এর মান যাই হোকনা কেন প্রতিক্ষেত্রে অনুরূপ ফল পাওয়া যাবে।

তাহলে দেখা যাচ্ছে সদৃশ সমকোণী ত্রিভুজের যেকোনো একটি সাধারণ সূক্ষকোণের পরিপ্রেক্ষিতে বাহুগুলির পারস্পরিক অনুপাতের একটি নির্দিষ্ট মান পাওয়া যায়। এই সত্যের উপরে ভিত্তি করে ত্রিকোণমিতিক অনুপাত প্রতিষ্ঠিত। আবার আমরা দেখেছে ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দুটি দুটি করে নিয়ে মোট ছয় প্রকারের অনুপাত পাওয়া যায়। তাই এই ছয় প্রকারের অনুপাতকে আলাদা আলাদা ভাবে চিহ্নিত করার জন্য ত্রিকোনমিতিতে তাদের আলাদা আলাদা নাম দেওয়া হয়েছে এই অনুপাতগুলিকে ত্রিকোণমিতিক অনুপাত বলা হয়।

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত ও তাদের নাম ( Different types of Trigonometrical Ratios )


এখানে ABC ত্রিভুজের ∠ABC = এক সমকোণ।
অতএব AC = অতিভুজ এবং সূক্ষকোণ ∠ACB

এর পরিপেক্ষিতে BC হল ভূমি এবং AB হল লম্ব।

মনে করি ∠ACB=θ

. এখন AB/AC=sineθ যাকে সংক্ষেপে লেখা হয় sinθ
BC/AC=cosineθ যাকে সংক্ষেপে লেখা হয় cosθ
AB/BC=tangentθ যাকে সংক্ষেপে লেখা হয় tanθ
AC/AB=cosecantθ যাকে সংক্ষেপে লেখা হয় cosecθ
AC/BC=secantθ যাকে সংক্ষেপে লেখা হয় secθ
BC/AB=cotangentθ যাকে সংক্ষেপে লেখা হয় cotθ

বিশেষ ভাবে মনে রাখতে হবে যে আলোচ্য সূক্ষকোণের বিপরীত বাহুটিকে লম্ব ধরতে হবে এবং অতিভুজ ছাড়া অন্য বাহুটিকে ভূমি ধরতে হবে। আরো মনে রাখতে হবে যে , যেকোনো অনুপাতের মতো এই অনুপাত গুলি শুদ্ধ সংখ্যা , যার কোনো একক নেই।

ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের ধর্ম ( Properties of Trigonometrical Ratios)

মনে করি sinθ এর বর্গ নিতে হবে , অর্থাৎ (sinθ)² নিতে হবে। আমাদের লেখার সুবিধার জন্য আমরা সাধারণত (sinθ)²=sin²θ লিখি। কিন্তু খেয়াল রাখতে হবে (sinθ)²≠sinθ²

.

অনুরূপ ভাবে (cosθ)²=cos²θ,(tanθ)²=tan²θ

ইত্যাদি।

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত গুলির পারস্পরিক সম্পর্ক ( Relations between Different Trigonometrical Ratios )
[You must be registered and logged in to see this link.]


(A) Reciprocal relation

(1) উপরের চিত্র থেকে দেখা যাচ্ছে sinθ=AB/AC
. আবার cosecθ=AC/AB

. একটু লক্ষ্য করলে দেখা যাচ্ছে ত্রিকোণমিতিক অনুপাত দুটি একটি অন্যটির ব্যস্ত অনুপাতের সমান , অর্থাৎ

sinθ=AB/AC=1/(AC/AB)=1/cosecθ⇒sinθ=1/cosecθ⇒cosecθ=1/sinθ

(2) আবার

cosθ=BC/AC=1/(AC/BC)=1/secθ⇒cosθ=1/secθ⇒secθ=1/cosθ

এখানেও একটি অন্যটির ব্যাস্তানুপাত।

(3) আবার

tanθ=AB/BC=1/(BC/AB)=1/cotθ⇒tanθ=1/cotθ⇒cotθ=1/tanθ

এখানেও একটি অন্যটির ব্যাস্তানুপাত।

(B) Quotient relations

আবার দেখো

sinθ/cosθ=(AB/AC)/(BC/AC)=AB/BC=tanθ

অতএব cotθ=1/tanθ=1/(sinθ/cosθ)=cosθ/sinθ