দ্বিঘাত করণী Quadratic Surds

দ্বিঘাত করণী ( Quadratic Surds )

সূচনা (Introduction)

আমরা এর আগে স্বভাবিক সংখ্যা, পূর্ণ সংখ্যা, পূর্ণবর্গ সংখ্যা, ধনাত্মক ও ঋণাত্মক সংখ্যা, জোড় ও বিজোড় সংখ্যা, মৌলিক ও যৌগিক সংখ্যা ভগ্নাংশ ও দশমিক সংখ্যা, মূলদ ও অমূলদ সংখ্যা সম্মদ্ধে জেনেছি । আমরা জানি 2 এর বর্গ 4 তাই 4 এর বর্গমূল 2, অঙ্কের ভাষায় 4–√=2

আবার -2 ও হয় , সুতরাং 4 এর বর্গমূল (+2) এবং (-2) হবে ।

তেমনি

53=125⇒125−−−√3=534=81⇒81−−√4=325=32⇒32−−√5=2

বর্গমূল চিহ্নটির ক্ষেত্রে সাধারণত √
ব্যবহার করা হয়, ঘনমূল √3 চিহ্ন দিয়ে, চতুর্থমূল √4 চিহ্ন দিয়ে, এবং পঞ্চমমুল √5

চিহ্ন দিয়ে বোঝানো হয় ।

যে মূলগুলি উপরে উল্লেখ করা হয়েছে তাদের মান দুটি পূর্ণ সংখ্যার অনুপাতে প্রকাশ করা যায় অর্থাৎ মানগুলি প্রত্যেকে মূলদ হবে । কিন্তু সবসময় তা হয়না । যেমন 2–√,3–√,5–√3

ইত্যাদির মান সম্পূর্ণরূপে নির্ণয় করা যায় না ।

কোনো ধনাত্মক মূলদ সংখ্যার যে সব মূল এর মান সম্পূর্ণরূপে নির্ণয় করা যায় না তাদের করণী (Surd) বলে ।

যেমন 2–√,3–√,5–√3
ইত্যাদি হল করণী, কিন্তু 4–√,8–√3,27−−√3

ইত্যাদি করণী আকারে থাকলেও করণী নয় । কারণ এদের মান সম্পূর্ণরূপে নির্ণয় করা যায় ।



মূলদ সংখ্যা (Rational number) -কোনো সংখ্যাকে যদি দুটি পূর্ণ সংখ্যার অনুপাতের আকারে প্রকাশ করা হয় তবে সেই সংখ্যাকে মূলদ সংখ্যা (Rational number) বলে । যেমন -3, 1, 10, 23,−35,36

ইত্যাদি ।

অমূলদ সংখ্যা (Irrational number) -যে সব সংখ্যা কে দুটি পর্ণ সংখ্যার আকারে প্রকাশ করা যায় না তাদের অমূলদ সংখ্যা (Irrational number) বলে । যেমন 2–√,3–√,5–√3,π

ইত্যাদি ।

দেখা যাচ্ছে যে 2–√,3–√,5–√3
এরা করণী এবং অমূলদ সংখ্যা , কিন্তু π

করণী নয় অথচ অমূলদ সংখ্যা । তাই আমরা বলতে পারি সব করণী অমূলদ সংখ্যা কিন্তু সব মূলদ সংখ্যা করণী নয় ।

করণীর বিভিন্ন আকার (Different types of Surds) :

(১) শুদ্ধ করণী ( Pure Surds ):- যদি কোনো করণীকে সরল করে, কোনো মূলদ সংখ্যাকে (1 ব্যাতীত) করণী চিহ্নের বাইরে আনা অসম্ভব হয়, তবে সেই করণীকে বলে শুদ্ধ করণী । যেমন: 5–√,11−−√

ইত্যাদি ।

(২) মিশ্র করণী ( Mixed Surds ):- যে সব করণীকে সরল আকারে লিখলে দেখা যায় যে এদের প্রত্যেকটির একটি মূলদ ও একটি অমূলদ অংশ আছে, সেই ধরণের করণীকে মিশ্র করণী বলে ।

যেমন: 18−−√=9×2−−−−√=32–√
, 48−−√=3×2×2×2×2−−−−−−−−−−−−−−√=43–√ হল মিশ্র করণী । এখানে 3, 4 হল মূলদ সংখ্যা এবং 2–√,3–√

হল অমূলদ সংখ্যা ।

(৩) সদৃশ করণী ( Similar Surds )র দুটি করণীর অমূলদ অংশ একই হলে তাদের সদৃশ করণী বলে । যেমন: 2–√,32–√
; 115–√,35–√

ইত্যাদি ।

(৪) অসদৃশ করণী ( Dissimilar Surds ):- সরল করার পর দুটি করণীর অমূলদ অংশ আলাদা হলে তাদের অসদৃশ করণী বলে । যেমন: 115–√,37–√
; 102–√,33–√

ইত্যাদি ।

(৫) সরল করণী ( Simple Surds ):- যে সকল করণীতে একটি মাত্র পদ থাকে তাদের সরল করণী বলে । যেমন : 2–√,3–√,7–√,55–√

ইত্যাদি ।

(৬) দ্বিপদ করণী ( Binomial Surds ):- দুটি পদযুক্ত (দুটি পদই করণী বা একটি পদ করণী অপরটি মূলদ সংখ্যা হয়) করণীকে দ্বিপদ করণী বলে । যেমন: 2+6–√,23–√−5–√

ইত্যাদি ।

(৭) যৌগিক করণী ( Compound Surds ):- একাধিক করণীর অথবা মূলদ সংখ্যা ও একাধিক করণীর বীজগাণিতিক সমষ্টিকে যৌগিক করণী বলে। যেমন : 1+5–√,22–√+35–√−6–√,2–√+3–√

ইত্যাদি ।

মন্তব্য - দুটি পদ যুক্ত যৌগিক করণীকে দ্বিপদ করণী বলে ।

(৮) সমমূলীয় করণী ( Equiradical Surds ):- দুই বা ততোধিক করণীর মূল সমান হলে ওদের সমমূলীয় করণী বলে । যেমন : 3–√,2–√,5–√
এবং 5–√7,7–√7,11−−√7

ইত্যাদি ।

এখানে মনে রাখা দরকার দুটি করণী সমমূলীয় না হলেও তাদের সমমূলীয় করণীর আকারে প্রকাশ করা যায় ।

যেমন: 2–√3,2–√4

এই দুটি করণী সমমূলীয় নয়, এখন লক্ষ করো

2–√3=(2)44−−−−√3=24−−√3×4=24−−√122–√4=(2)33−−−−√4=23−−√4×3=23−−√12

এখন দুটি করণীর মূল সমান ।





করণীর ক্রম ( Order of Surds ):- একটি শুদ্ধ বা মিশ্র করণীতে উপস্থিত মূল নির্ণায়ক সূচককে করণীর ক্রম বলে । যেমন : 11−−√3

এই করণীর ক্রম হল 3 ।

করণীর তুলনা ( Difference of Surds ):- দুই বা ততোধিক সমমূলীয় করণীর (সমমূলীয় না হলে তাকে সমমূলীয়র আকারে প্রকাশ করতে হবে) মূল নির্ণায়ক সূচক বাদে মানের তারতম্য অনুসারে করণীর তুলনা করা হয় ।

যেমন : 5–√>3–√

কারণ 5 > 3 (সমমূলীয় করণী) ।

কিন্তু 5–√,3–√4

সমমূলীয় করণী নয় তাই এদের তুলনা হবে না ।

করণীর সরলতম আকার ( Simple form of Surds ):- করণীর মূল চিহ্নের ভেতর থেকে যদি কোনো মূলদ উৎপাদক (1 বর্জিত) মূল চিহ্নের বাইরে আনা সম্ভব হয়, তখন করণীর যে রূপ পাওয়া যায় তাকে করণীর সরলতম আকার বলা হয় ।

যেমন: 45−−√=3×3×5−−−−−−−√=35–√
45−−√ এর সরলতম আকার হল 35–√

করণীর যোগ ও বিয়োগ ( Addition and Subtraction of Surds ) :- করণীর যোগফল ও বিয়োগফল নির্ণয় করতে হলে প্রথমে করণীগুলিকে সরলতম আকারে প্রকাশ করতে হবে । করণীগুলির যোগ অথবা বিয়োগ সাধারণ বীজগাণিতিক প্রক্রিয়ার নিয়মে করা হয় ।

যেমন: 2–√+8–√=2–√+22–√=32–√

50−−√−12−−√=25×2−−−−−√−4×3−−−−√=52–√−23–√

করণীর গুণ ও ভাগ ( Multiplication and Division of Surds ) :- দুটি শুদ্ধ করণীর গুণ, সূচকের নিয়মাবলী অনুযায়ী হয় ।

[সূচকের নিয়মাবলী : যদি a≠0
এবং m ও n ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা হয় তবে am×an=am+n তাছাড়া (am)n=amn,(ab)m=am.bm(b≠0)(a≠0)

যেমন: 3–√×3–√=(3)12+12=31=3

5–√×7–√=512×712=(5×7)12=3512=35−−√

অনুরূপে দুটি মিশ্র করণীর গুণ সূচক ও বীজগাণিতিক প্রক্রিয়া অনুযায়ী হয় ।

সমমূলীয় করণীসমূহের গুণফল নির্ণয়ের ক্ষেত্রে সাধারণ বীজগাণিতিক প্রক্রিয়ার মতন মূলদ ও অমূলদ অংশ গুলি পৃথক পৃথক গুণ করে গুণফল নির্ণয় করতে হবে । যদি করণী গুলি বিভিন্ন ক্রমের হয় তবে ওদের সমমূলীয় করণীর আকারে প্রকাশ করে গুণফল নির্ণয় করতে হয় । অমূলদ অংশ বা করণীর অংশের গুণের ক্ষেত্রে সূচকের নিয়মাবলী অনুযায়ী হবে ।

25–√×32–√=2×3×5×2−−−−√=610−−√3–√×2–√3=312×213=336×226=2716×416=(27×4)16=10816=108−−−√6

দুটি যৌগিক করণীর গুণফল নির্ণয় সূচক ও বীজগাণিতিক বহুপদী সংখ্যার গুণফল নির্ণয় প্রক্রিয়া অনুযায়ী হয়।

যেমন:

(2+3–√)(4+3–√)=2×4+2×3–√+4×3–√+3–√×3–√=8+23–√+43–√+3=11+63–√

করণীর ভাগ সম্পর্কে আলোচনার আগে করণী নিরসক উৎপাদক এবং অনুবন্দি বা প্রতিযোগী করণী সম্পর্কে জানতে হবে।

করণী নিরসক উৎপাদক :- কোনো করণীর সাথে যে উৎপাদক গুণ করলে গুণফলটি করণী মুক্ত হবে তাকে ওই করণীর করণী নিরসক বলে।

যেমন:

a−−√
এর করণী নিরসক উৎপাদক হল a−−√

b+a−−√
এর করণী নিরসক উৎপাদক হল b−a−−√ অথবা −b+a−−√

অনুবন্দি বা পূরককরণী ( Conjugate or Complementary Surds ):- যখন একটি দ্বিপদ করণীর দুটি পদের মান অন্য দ্বিপদ করণীর দুটি পদের মানের সমান হয় এবং ঐ দ্বিপদ করণীর অমূলদ পদটি বা যেকোনো একটি অমূলদ পদ বিপরীত চিহ্ন যুক্ত হয় তখন একটিকে অপরটির অনুবন্দি বা পূরক করণী বলা হয়। যেমন: b+a−−√
এর অনুবন্দি করণী হল b−a−−√ .অথবা 33–√+5–√ এর অনুবন্দি করণী হল 33–√−5–√

ভাগ ( Division ) : একটি করণীকে অপর একটি করণী দিয়ে ভাগ করতে হলে প্রথমে ওই দুটি করণীকে যথাক্রমে লব ও হর ধরে একটি ভগ্নাংশের আকারে প্রকাশ করে নিতে হবে , তারপর সেই ভগ্নাংশের হরকে করণী নিরসন করে ভাগফল নির্ণয় করতে হবে।

যেমন:

4÷(3−2–√)=4(3−2√)=4(3+2√)(3+2√)(3−2√)=4(3+2√)9−2=4(3+2√)7



(5–√+2)÷(3–√−1)=(5√+2)(3√−1)=(5√+2)(3√+1)(3√−1)(3√+1)=5√×3√+5√+2×3√+23−1=15√+5√+23√+22



দ্বিঘাত করণী ( Quadratic Surds )

আমাদের একটি প্রশ্ন থেকেই যায়, এই অধ্যায়ের নাম কেন দ্বিঘাত করণী হল। যে করণীর ক্রম 2 তাকে দ্বিঘাত করণী বলে। এই অধ্যায়ে আমরা কেবল করণীর দ্বিতীয় ক্রম নিয়ে প্রশ্ন উত্তর করেছি , তাই এই অধ্যায়কে দ্বিঘাত করণী বলা হয়।