বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য ( Theorem of Tangent of circle )

বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য

সূচনা ( Introduction )

আমরা পূর্বেই জেনেছি একটি সরলরেখা একই সমতলে অবস্থিত একটি বৃত্তকে দুই এর অধিক বিন্দুতে ছেদ করতে পারেনা।

চিত্রে AB সরলরেখাটি বৃত্তটিকে P , Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। AB এর অবস্থানের সঙ্গে সমান্তরাল করে সরলরেখাটিকে বৃত্তের পরিধির দিকে ক্রমশ সরালে দেখাযায় ছেদ বিন্দু দুটি নিকটবর্তী হয় এবং AB এর অবস্থান যখন CD হয় , তখন ছেদবিন্দু সমাপতিত হয় E বিন্দুতে অর্থাৎ CD সরলরেখাটি বৃত্তটিকে ছুঁয়ে যায় বা স্পর্শ করে। CD কে বৃত্তের স্পর্শক এবং E বিন্দুকে বলে স্পর্শবিন্দু। এরপর দেখা যায় AB এর পরবর্তী অবস্থানে সরলরেখাটি বৃত্তটিকে কোনো বিন্দুতে ছেদ বা স্পর্শ করবেনা।



চিত্রে একটি সরলরেখা বৃত্তটিকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে। A বিন্দুকে স্থির রেখে যদি সরলরেখাটিকে ঘোরানো হয় ( চিত্রে ঘড়ির কাঁটার বিপরীতদিকে ঘোরানো হয়েছে ) তাহলে দেখা যায় অপর ছেদ বিন্দুটি A বিন্দুর আরো নিকটবর্তী হয়। এভাবে ঘোরানোর ফলে সরলরেখাটির এমন একটি অবস্থান হবে যখন অপর ছেদ বিন্দুটি A বিন্দুর সাথে মিশে যাবে বা দুটি ছেদবিন্দু A বিন্দুতে সমাপ্তিটা হবে , তখন সরলরেখাটি A বিন্দুতে স্পর্শক হবে।

নীচের চিত্র থেকে স্পর্শক সম্মন্ধে আমাদের আরো পরিষ্কার ধারণা হবে


উপরের চিত্র থেকে দেখতে পাওয়া যায় যে AD সরলরেখা একটি বৃত্তকে B ও C বিন্দুতে ছেদ করেছে এবং অপর বৃত্তকে B বিন্দুতে স্পর্শ করেছে। প্রথমক্ষেত্রে AD কে বৃত্তের ছেদক বলে। দ্বিতীয়ক্ষেত্রে AD কে বৃত্তের স্পর্শক ও B বিন্দুকে স্পর্শবিন্দু বলে। AD স্পর্শকের উপরে B বিন্দু ছাড়া অন্য কোনো বিন্দু বৃত্তের উপর অবস্থিত নয়।



### তোমার সাহায্যে আমরা পাশে আছি, তুমি এগিয়ে যাও।
# প্রিয় ছাত্র - ছাত্রী যদি কোথাও কোনো ভুল থেকে থাকে তবে মনে রাখবে সেটা অনিচ্ছাকৃত।
নিচে কমেন্ট করো। ঠিক করে দেওয়া হবে।

CLASS TEN  MATHEMATICS
#Madhyamik #2020 #MATHEMATICS #Suggestions
#গণিত #মাধ্যমিক

বৃত্তের কোনো বিন্দুতে স্পর্শক ও ঐ স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ পরস্পর লম্বভাবে অবস্থিত


মনে করি O কেন্দ্রীয় কোনো বৃত্তের P বিন্দুতে AB স্পর্শক এবং OP , P বিন্দুগামী ব্যাসার্ধ। আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে OP এবং AB পরস্পর লম্ব।

অঙ্কন : AB স্পর্শকের উপর অপর যেকোনো একটি বিন্দু Q নেওয়া হল। O , Q যুক্ত করা হল।

প্রমাণ : যেহেতু স্পর্শক AB এর উপরে স্পর্শবিন্দু P ব্যাতিত অপর যেকোনো একটি বিন্দু Q বৃত্তের বাইরে অবস্থিত , সুতরাং OQ বৃত্তটিকে একটি বিন্দুতে ছেদ করবে। মনে করি ছেদবিন্দু হল R .

অতএব OR < OQ ( যেহেতু R বিন্দু O , Q এর অন্তর্বর্তী )

আবার OR = OP .( একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ )

অতএব OP < OQ

যেহেতু Q বিন্দু AB এর উপর যেকোনো বিন্দু , তাই O কেন্দ্র থেকে AB এর উপর যত রেখাংশ অঙ্কন করা যায় OP তাদের মধ্যে ক্ষুদ্রতম হবে।

অতএব OP এবং AB পরস্পর লম্ব।

অনুসিদ্ধান্ত :~

>> বৃত্তের উপর অবস্থিত কোনো বিন্দুগামী ব্যাসার্ধের উপর ঐ বিন্দুতে অঙ্কিত লন্ব বৃত্তের স্পর্শক হবে।
>> বৃত্তের উপর অবস্থিত কোনো বিন্দুতে একটিমাত্র স্পর্শক অঙ্কন করা যায়। ( যেহেতু ঐ বিন্দুতে ঐ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধের উপর একটি মাত্র লম্ব অঙ্কন করা যায় )
>> স্পর্শবিন্দুতে স্পর্শকের উপর অঙ্কিত লম্ব বৃত্তের কেন্দ্রগামী হবে। কারণ একটি সরলরেখার উপর অবস্থিত একটি বিন্দুতে একটিমাত্র লম্ব অঙ্কন করা যায়।
### তোমার সাহায্যে আমরা পাশে আছি, তুমি এগিয়ে যাও।
# প্রিয় ছাত্র - ছাত্রী যদি কোথাও কোনো ভুল থেকে থাকে তবে মনে রাখবে সেটা অনিচ্ছাকৃত।
নিচে কমেন্ট করো। ঠিক করে দেওয়া হবে।

CLASS TEN MATHEMATICS
#Madhyamik #2020 #MATHEMATICS #Suggestions
#গণিত #মাধ্যমিক

কয়েকটি প্রয়োগ

(১) O কেন্দ্রীয় কোনো একটি বৃত্তের AB একটি ব্যাস। A বিন্দুতে বৃত্তের স্পর্শক PAQ . RS জ্যাটি স্পর্শক PAQ এর সমান্তরাল হলে প্রমাণ করো যে , AB , RS এর লম্ব সমদ্বিখণ্ডক।

প্রমাণ : মনে করি AB , RS কে T বিন্দুতে ছেদ করে।

অতএব PAQ , O কেন্দ্রীয় বৃত্তের A বিন্দুতে স্পর্শক এবং AB ব্যাস ,

অতএব AB⊥PQ

আবার PQ ।। RS এবং AB ভেদক।

অতএব AB⊥RS

অতএব T , RS এর মধ্যবিন্দু। ( যেহেতু OT কেন্দ্র থেকে জ্যা RS এর উপর লম্ব )

অতএব AB , RS এর লম্ব সমদ্বিখণ্ডক।

(২) বৃত্তের বহিস্থ কোনো বিন্দু থেকে ওই বৃত্তে দুটি স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।


O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তে T একটি বহিস্থ বিন্দু। প্রমাণ করতে হবে যে , T বিন্দু থেকে O কেন্দ্রীয় বৃত্তে দুটি স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।

অঙ্কন : T , O যুক্ত করা হল। TO কে ব্যাস করে একটি বৃত্ত অঙ্কন করা হল। T বিন্দু বৃত্তের বহিস্থ এবং O বিন্দু বৃত্তের অন্তঃস্থ বলে বৃত্তটি O কেন্দ্রীয় বৃত্তকে দুটি বিন্দুতে ছেদ করে। মনে করি ছেদবিন্দু দুটি হল A ও B . TA , TB , OA ও OB যুক্ত করা হল।

প্রমাণ : ∠OAT এবং ∠OBT এরা প্রত্যেকেই অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।

অতএব ∠OAT=∠OBT=90^∘

অর্থাৎ TA⊥OA
এবং TB⊥OB

অতএব TA ও TB যথাক্রমে O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ OA এবং OB এর উপর লম্ব।

অতএব TA ও TB O কেন্দ্রীয় বৃত্তে A ও B বিন্দুতে স্পর্শক।

অতএব প্রমাণিত বৃত্তের বহিস্থ কোনো বিন্দু থেকে ওই বৃত্তে দুটি স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।