বৃত্ত সংক্রান্ত উপপাদ্য 4 ( Theorems related to circle )

বৃত্ত ও কোণ সম্পর্কিত কয়েকটি সংজ্ঞা

(১) কেন্দ্রস্থ কোণ : কোনো বৃত্তের কেন্দ্রের সাথে ওই বৃত্তের যেকোনো বৃত্তচাপের প্রান্তবিন্দুদ্বয় যুক্ত করলে যে কোণ উৎপন্ন হয় , তাকে ওই বৃত্তচাপের উপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ বলে।

O হল একটি বৃত্তের কেন্দ্র। APB বৃত্তচাপের উপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ হল ∠AOB

.

(২) পরিধিস্থ কোণ : বৃত্তের কোনো একটি বৃত্তচাপের প্রান্তবিন্দুদ্বয়ের সাথে উহার বিপরীত বৃত্তচাপের উপর অবস্থিত কোনো একটি বিন্দু যোগ করলে যে কোণ উৎপন্ন হয় তাকে ওই বৃত্তচাপের অবস্থিত পরিধিস্থ কোণ বলে।


উপরের চিত্রে O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তে APB বৃত্তচাপের উপর অবস্থিত পরিধিস্থ কোণ হল ∠ACB,∠ADB,∠AEB
ইত্যাদি। সুতরাং কোনো বৃত্তচাপের উপর অবস্থিত কেন্দস্থ কোণ একটি এবং পরিধিস্থ কোণ অসংখ্য।


### তোমার সাহায্যে আমরা পাশে আছি, তুমি এগিয়ে যাও।
# প্রিয় ছাত্র - ছাত্রী যদি কোথাও কোনো ভুল থেকে থাকে তবে মনে রাখবে সেটা অনিচ্ছাকৃত।
নিচে কমেন্ট করো। ঠিক করে দেওয়া হবে।

CLASS TEN MATHEMATICS
#Madhyamik #2020 #MATHEMATICS #Suggestions
#গণিত #মাধ্যমিক

কোনো বৃত্তের একই বৃত্তচাপের উপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ পরিধিস্থ কোণের দ্বিগুণ।


মনে করি APB এর উপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ হল ∠AOB এবং পরিধিস্থ কোণ ∠ACB .
প্রমাণ করতে হবে ∠AOB=2∠ACB
অঙ্কন : C , O যুক্ত করে D বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করা হল।

প্রমাণ :  ΔAOC এর OA = OC ( একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ )

আবার  ΔAOC এর CO বাহুকে D বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করা হয়েছে।

অতএব বহিঃস্থকোণ ∠AOD=∠OAC+∠OCA=2∠OCA

অনুরূপভাবে ΔBOC থেকে পাওয়া যাবে ∠BOD=2∠OCB

এখন চিত্র (a)

∠AOB=∠AOD+∠BOD=2∠OCA+2∠OCB=2(∠OCA+∠OCB)=2∠ACB

চিত্র (b)

∠AOB=∠BOD−∠AOD=2∠OCB−2∠OCA=2(∠OCB−∠OCA)=2∠ACB

Last edited by Admin on Tue Aug 06, 2019 8:48 pm; edited 1 time in total

কয়েকটি প্রয়োগ

(১) ABC ত্রিভুজের পরিবৃত্তের কেন্দ্র O ; A এবং BC কেন্দ্রের বিপরীত পার্শে অবস্থিত। ∠BOC=120^∘
হলে ∠BAC এর মান কত ?

সমাধান :

∠BOC এবং ∠BAC কোণ দুটি O কেন্দ্রীয় বৃত্তের একই বৃত্তচাপের উপর অবস্থিত যথাক্রমে কেন্দ্রস্থ কোণ ও পরিধিস্থ কোণ।

অতএব ∠BAC=¹_/2∠BOC=¹_/2×120^∘=60^∘

(২) ত্রিভুজ APB এবং ত্রিভুজ AOB হল যথাক্রমে O কেন্দ্রীয় বৃত্তের পরিবৃত্তিয় ও কেন্দ্রীয় ত্রিভুজ। ∠APB এবং ∠AOB মান নির্ণয় করো যখন ∠OAP=25^∘ এবং ∠OBP=35^∘



সমাধান :  যেহেতু OA এবং OB হল O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ

অতএব ∠OAB=∠OBA=x  (মনে করি )

অতএব ত্রিভুজ AOB থেকে পাই ∠AOB=180^∘−2x

আবার পরিধিস্থ ∠APB=¹_/2×∠AOB=¹_/2(180^∘−2x)=90^∘−x

এখন ত্রিভুজ APB থেকে পাই

25^∘+x+35^∘+x+90^∘−x=180^∘
⇒x+150^∘=180^∘
⇒x=30^∘

অতএব ∠APB=90^∘−30^∘=60^∘

এবং ∠AOB=2×60∘=120∘

(৩) দুটি সমান বৃত্ত পরস্পরকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করে। A বিন্দুগামী একটি সরলরেখা একটি বৃত্তকে P বিন্দুতে এবং ওপর বৃত্তকে Q বিন্দুতে ছেদ করে প্রমাণ করো যে , BP = BQ

সমাধান :

অঙ্কন : মনে করি X ও Y যথাক্রমে প্রথম ও দ্বিতীয় বৃত্তের কেন্দ্র A , B ; A , X ; B , X ; A , Y ; B , Y যুক্ত করা হল।

প্রমাণ : ত্রিভুজ AXB এবং ত্রিভুজ AYB এর

AX = AY ( দুটি সমান বৃত্তের ব্যাসার্ধ ) ,

BX = BY ( দুটি সমান বৃত্তের ব্যাসার্ধ )

AB সাধারণ বহু

অতএব ΔAXB≅ΔAYB

অতএব ∠AXB=∠AYB ( অনুরূপ কোণ )

কিন্তু ∠APB=¹_/2∠AXB ( একই চাপের উপর অবস্থিত ∠APB পরিধিস্থ কোণ এবং ∠AXB কেন্দ্রস্থ কোণ )

অনুরূপে ∠AQB=¹_/2∠AYB

অতএব ∠APB=∠AQB
যেহেতু ∠AXB=∠AYB

অর্থাৎ ∠QPB=∠PQB

ত্রিভুজ PBQ এর ∠QPB=∠PQB

অতএব BP = BQ