বৃত্ত সংক্রান্ত উপপাদ্য 1 ( Theorems related to circle )

বৃত্ত সংক্রান্ত উপপাদ্য ( Theorems related to circle )

সূচনা (Introduction )

Circle  আমরা এর আগে বৃত্তের সঙ্গে পরিচিত হয়েছি এবং বৃত্ত সম্পর্কিত বৃত্তের সংজ্ঞা , বৃত্তের কেন্দ্র , বৃত্তের ব্যাসার্ধ , বৃত্তের ব্যাস , বৃত্তচাপ ,বৃত্তের জ্যা এবং অৰ্ধবৃত্ত এর গুলোর সঙ্গে আমাদের পরিচয় ঘটেছে। এই অধ্যায়ে বৃত্ত সম্বন্ধীয় প্রতিপাদ্য আলোচনা করা হবে , তার জন্য প্রয়োজনীয় বিষয় গুলি আর একবার আলোচনা করব।







বৃত্তাংশ : কোনো বৃত্তের একটি জ্যা ও একটি চাপের দ্বারা গঠিত চিত্রকে বলা হয় বৃত্তাংশ।


উপরের চিত্রে ACB একটি  বৃত্তাংশ যা AB জ্যা এবং ACB বৃত্তচাপ গঠিত।

বৃত্তকলা : কোনো বৃত্তের দুটি ব্যাসার্ধ ও একটি চাপ দ্বারা গঠিত চিত্রকে বলা হয় বৃত্তকলা।


উপরের চিত্রে যেমন OA এবং OB দুটি ব্যাসার্ধ ও একটি বৃত্তচাপ ACB দ্বারা গঠিত OACB একটি বৃত্তকলা। অনুরূপে OADB আর একটি বৃত্তকলা , যা ব্যাসার্ধ OA এবং OB ও বৃত্তচাপ ADB দ্বারা গঠিত।

এককেন্দ্রীয় বৃত্তসমূহ : একটি বৃত্তকে কেন্দ্র করে একাধিক বৃত্ত অঙ্কন করা হলে , ওই বৃত্ত গুলিকে বলা হয় এককেন্দ্রীয় বৃত্তসমূহ।


### তোমার সাহায্যে আমরা পাশে আছি, তুমি এগিয়ে যাও।
# প্রিয় ছাত্র - ছাত্রী যদি কোথাও কোনো ভুল থেকে থাকে তবে মনে রাখবে সেটা অনিচ্ছাকৃত।
নিচে কমেন্ট করো। ঠিক করে দেওয়া হবে।

CLASS TEN MATHEMATICS
#Madhyamik #2020 #MATHEMATICS #Suggestions
#গণিত #মাধ্যমিক

Last edited by Admin on Tue Aug 06, 2019 8:10 pm; edited 1 time in total

বিভিন্ন সংখ্যক বিন্দুগামী বৃত্ত আঁকার সম্ভাব্যতা

আমরা জানি একটি বৃত্ত অঙ্কন করতে হলে প্রয়োজন একটি কেন্দ্র এবং একটি ব্যাসার্ধ। যদি কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্দিষ্ট না বলা থাকে তাহলে আমরা অসংখ্য বৃত্ত অঙ্কন করতে পারি। কেন্দ্র নির্দিষ্ট এবং ব্যাসার্ধ নির্দিষ্ট না থাকলে আমরা অসংখ্য বৃত্ত অঙ্কন করতে পারি এবং সেগুলি হবে এককেন্দ্রীয় বৃত্ত। আবার ব্যাসার্ধ নির্দিষ্ট কিন্তু কেন্দ্র পৃথক পৃথক হলে যে সব বৃত্ত গুলি অঙ্কন করতে পারি তারা হবে তারা হবে সর্বসম।

আবার দেখা যায় একটি বিন্দু দিয়ে অসংখ্য বৃত্ত অঙ্কন করা যায়।

যদি দুটি নির্দিষ্ট বিন্দুগামী বৃত্ত অঙ্কন করতে হয় তাহলে কতগুলি বৃত্ত পাবো ? সেক্ষেত্রে দেখা যায় অসংখ্য বৃত্ত পাওয়া যায়। ধরা যাক A ও B দুটি নির্দিষ্ট বিন্দু। তাহলে বৃত্ত গুলির কেন্দ্র এমন স্থানে অবস্থিত হতে হবে যে তার থেকে A ও B সমদূরতে অবস্থিত হবে।

ধরা যাক A ও B দুটি নির্দিষ্ট বিন্দু। তাহলে বৃত্ত গুলির কেন্দ্র এমন নির্দিষ্ট স্থানে


অবস্থিত হতে হবে যে তা থেকে A ও B যেন সমদূরত্বে থাকে। আমরা পূর্বে দেখেছি যে AB রেখাংশের লম্ব সমদ্বিখণ্ডকের উপরে অবস্থিত যেকোনো বিন্দুকে কেন্দ্র করে ওই বিন্দু ও A অথবা B বিন্দুর সংযোগ রেখাংশকে ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্ত অঙ্কন করলেই তা A এবং B বিন্দুগামী হবে।

এবার দেখা যাক তিনটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে কতগুলি বৃত্ত অঙ্কন করা যাবে। প্রথমে দেখি বিন্দুগুলি যদি অসমরেখ হয় তাহলে কি হবে ?

তিনটি অসমরেখ বিন্দু দিয়ে বৃত্ত অঙ্কন করতে হলে প্রথমেই আমাদের অন্তত একটি বিন্দু খুঁজে বের করতে হবে , যার থেকে ওই তিনটি বিন্দুর দূরত্ব সমান হয়।


মনে করি প্রদত্ত বিন্দু তিনটি হল A , B এবং C . তবে AB এর লম্ব সমদ্বিখণ্ডক PQ এর উপর অবস্থিত আবার B ও C থেকে সমদূরবর্তী বিন্দু BC এর লম্ব সমদ্বিখণ্ডক RS এর উপর অবস্থিত। যেহেতু A , B ও C তিনটি অসমরেখ বিন্দু তাই AB ও BC এর লম্ব সমদ্বিখণ্ডক অর্থাৎ PQ এবং RS একটি নির্দিষ্ট বিন্দু O তে পরস্পরকে ছেদ করবে। অতএব O বিন্দুকে কেন্দ্র করে A , B ও C বিন্দু দিয়ে একটি মাত্র বৃত্ত অঙ্কন করা যাবে।

সুতরাং আমরা সিদ্ধান্ত নিতে পারি তিনটি অসমরেখ বিন্দু দিয়ে একটি মাত্র বৃত্ত অঙ্কন করা যায়। অপরপক্ষে তিনটি বিন্দু সমরেখ হলে বৃত্ত অঙ্কন করা সম্ভব নয়।

মন্তব্য :

একটি বিন্দু দিয়ে অসংখ্য বৃত্ত অঙ্কন করা যায়।
দুটি বিন্দু দিয়ে অসংখ্য বৃত্ত অঙ্কন করা যায়।
তিনটি অসমরেখ বিন্দু দিয়ে একটি মাত্র বৃত্ত অঙ্কন করা যায়।
তিনটির বেশি বিন্দু দিয়ে একটি বৃত্ত অঙ্কন করা সম্ভব নাও হতে পারে। যদি সম্ভব হয় তাদের সমবৃত্তস্থ বিন্দু বলা হয়।
যে চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দু গুলি কোনো বৃত্তের উপর অবস্থিত হয় , সেই চতুর্ভুজকে বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ বলা হয়।

বিশেষ ধর্ম

(১) একটি সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়ামের শীর্ষবিন্দু গুলি সমবৃত্তস্থ।


ABCD একটি সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম , যার AB এবং DC বাহু পরস্পর সমান্তরাল এবং তির্যক বাহুদ্বয় সমান , অর্থাৎ DA = BC .আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে ABCD সমবৃত্তস্থ।

অঙ্কন : DC বাহুর লম্বসমদ্বিখণ্ডক PQ অঙ্কন করা হল। ওই লম্বসমদ্বিখণ্ডক AB বাহুরও লম্বসমদ্বিখণ্ডক হবে।

মনে করি PQ , DC ও AB কে যথাক্রমে R ও S বিন্দুতে ছেদ করেছে।

AD এর লম্বসমদ্বিখণ্ডক LM অঙ্কন করা হল, যা PQ কে O বিন্দুতে ও AD কে N বিন্দুতে ছেদ করেছে।

O বিন্দুর সঙ্গে যথাক্রমে A , B , C , D বিন্দুগুলিকে যুক্ত করা হল।

প্রমাণ : আমরা বলতে পারি O , DC এর লম্বসমদ্বিখণ্ডকের উপরে অবস্থিত।

অতএব OC = OD .

অনুরূপভাবে OD =OA  OA =OB .

অতএব O কে কেন্দ্র করে OC ব্যাসার্ধ নিয়ে যে বৃত্ত অঙ্কন করা হবে , তা D , A , B বিন্দু দিয়েও যাবে , অর্থাৎ A , B , C , D সমবৃত্তস্থ।