সম্ভাবনা তত্ত্ব (Probability Theory):-
সূচনা (Introduction)
(১) ঝোঁকশূন্য কোনো মুদ্রাকে উপরের দিকে ছুড়ে দেওয়া হল, এতে হেড পড়ার সম্ভাবনা কত ?
(২) একটি বাক্সে চারটি আলাদা রঙের বল আছে যেকোনো একটি রঙের বল তোলার সম্ভাবনা কত ?
(৩) একটি লুডোর ছক্কাতে ছয় পড়ার সম্ভাবনা কত ?
উপরের তিনটি প্রশ্নের ক্ষেত্রে প্রথমটি 50%, দ্বিতীয়টি 25% এবং তৃতীয়টি 16
উত্তর সহজেই নির্ণয় করা । অনেক ক্ষেত্রে সহজে নির্ণয় করা যায় না । যেমন একটি তাসের প্যাকেট থেকে দুটি ইস্কাবন হওয়ার সম্ভাবনা কত ?
উপরের আলোচনা থেকে বলা যায় কোনো নির্দিষ্ট ঘটনা ঘটার মাত্রা সম্ভাবনার সাহায্যে প্রকাশ করা হয় ।
কয়েকটি সংজ্ঞা (Some Definitions)-
(১) সমসম্ভব পরীক্ষা (Random experiment) :- যে সব পরীক্ষা বা পর্যবেক্ষণের ক্ষেত্রে কোন ঘটনা ঘটবে বা কোন ফল পাওয়া যাবে তা নিশ্চিতভাবে বলা যায় না তাদের সমসম্ভব পরীক্ষা (Random experiment) বলে ।
যেমন একটি ঝোঁকশূন্য কোনো মুদ্রাকে উপরের দিকে ছুড়ে দেওয়া হল । এ ক্ষেত্রে হেড পড়বে না টেল পড়বে তা নিশ্চিত ভাবে বলা যায় না ।
(২) ঘটনা (Event) :- সমসম্ভব পরীক্ষার সঙ্গে সম্পর্কিত যে কোনো একটি ফলকে একটি ঘটনা (Event) বলে ।
উদাহরণ:- একটি ঝোঁকশূন্য কোনো মুদ্রাকে উপরের দিকে ছুড়ে দেওয়া হল । এ ক্ষেত্রে হেড পড়বে অথবা টেল পড়বে । এক্ষেত্রে হেড এবং টেলের প্রত্যেকটিকে সমসম্ভব পরীক্ষার ঘটনা বলে ।
(৩) পরস্পর পৃথক ঘটনা (Mutually exclusive events):- দুই বা ততোধিক ঘটনা যদি পরস্পর এমনভাবে সম্বন্ধযুক্ত থাকে যে, তাদের কোনো দুটো ঘটনা এক সাথে ঘটা সম্ভব নয়, তাহলে ঘটনা সমূহকে পরস্পর পৃথক ঘটনা (Mutually exclusive events) বলে ।
(৪) অসম্ভব ঘটনা ও নিশ্চিত ঘটনা (Impossible event and Certain or Sure event):- যদি কোনো সমসম্ভব পরীক্ষায় আমরা নিশ্চিত করে বলতে পারি এইরূপ কোনো ঘটনা যা পর্যবেক্ষণে ঘটতে পারে না তবে এরূপ কল্পিত ঘটনাকে অসম্ভব ঘটনা ( Impossible event) বলে । সাধারণত অসম্ভব ঘটনা ϕ
চিহ্ন দ্বারা প্রকাশ করা হয় এবং উহা ঘটবার সম্ভাবনা শূন্য অর্থাৎ P(ϕ)=0
উদাহরণ:- একটি বাক্সে 4টি লাল বল ও 5টি সাদা বল আছে । বাক্স থেকে 1টি বল তোলা হল । বলটি সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা হবে শূন্য ।
আবার কোনো সমসম্ভব পরীক্ষায় আমরা নিশ্চিত করে বলতে পারি এইরূপ কোনো ঘটনা যা পর্যবেক্ষণে ঘটতে পারে তবে এরূপ কল্পিত ঘটনাকে নিশ্চিত ঘটনা (Certain or Sure event) বলে ।
উদাহরণ:- একটি মুদ্রাকে উপরের দিকে উৎক্ষেপণ করলে হেড অথবা টেল পড়বেই । নিশ্চিত ঘটনাকে সাধারণত S অক্ষর দ্বারা প্রকাশ করা হয় এবং তা ঘটার সম্ভাবনা P(S)=1
.
(৫) পূরক ঘটনা (Complementary event) :- একটি নির্দিষ্ট ঘটনার বিকল্প ঘটনাকে পূরক ঘটনা (Complementary event) বলে ।
উদাহরণ :- 'হেড' ঘটার পূরক ঘটনা হল 'টেল' ঘটা । যদি A একটি ঘটনা হয় তবে পূরক ঘটনা Ac
বা A/ বা A¯
দ্বারা প্রকাশ করা হয় ।
(৬) সমভাবে সম্ভাব্য ঘটনা (Equally likely events):- সমসম্ভব পরীক্ষার সঙ্গে সম্পর্কিত দুই বা ততোধিক ঘটনাকে সমভাবে সম্ভাব্য ঘটনা বলা হবে যখন ঘটনাসমূহের প্রত্যেকটি ঘটনা ঘটিবার সম্ভাবনা সমান হবে ।
উদাহরণ:- একটি ঝোঁকশূন্য মুদ্রাকে উৎক্ষেপণ করলে হেড ও টেল পড়ার সম্ভাবনা 50% অর্থাৎ সমান । আবার কোনো লুডোর ছক্কাকে ফেললে এক, দুই, তিন, চার, পাঁচ, ছয় পড়ার সম্ভাবনা সমান হয় । প্রতীকের সাহায্যে A ও B ঘটনাদ্বয় সমভাবে ঘটলে P(A)=P(B)
হবে ।
(৭) সম্পূর্ণ ঘটনাসমূহ (Exhaustive events):- সমসম্ভব পরীক্ষার সঙ্গে সম্পর্কিত দুই বা ততোধিক ঘটনা যদি এমন হয় যে, পরীক্ষা বা পর্যবেক্ষণের প্রত্যেক ক্ষেত্রে ঘটনা গুলির মধ্যে কমপক্ষে একটি অবশ্যই ঘটবে, তবে উক্ত ঘটনাসমূহকে সম্পূর্ণ ঘটনাসমূহ বলে ।
উদাহরণ:- ঝোঁকশূন্য মুদ্রাকে উৎক্ষেপণের সমসম্ভব পরীক্ষায় সংশ্লিষ্ট দুটি ঘটনা যদি A ও B হয়, A≡
হেড পড়ার ঘটনা ; B≡
টেল পড়ার ঘটনা; তবে A ও B ঘটনা দুটি সম্পূর্ণ (Exhaustive) কারণ পরীক্ষা বা পর্যবেক্ষণের প্রত্যেক ক্ষেত্রে A অথবা B যেকোনো একটি পড়বেই ।
(৮) অনুকূল ঘটনা (Favourable events):- কোনো সমসম্ভব পরীক্ষার ফলাফল গুলির মধ্যে কোন একটি নির্দিষ্ট ঘটনা A এর ঘটবার সঙ্গে সম্পর্কিত ঘটনা গুলিকে A এর ঘটবার অনুকূল ঘটনা বলে ।
যেমন :- দুটি মুদ্রাকে উৎক্ষেপণ করলে যে ফলগুলি পাওয়া যায় তা হল HH, HT, TH এবং TT, যেখানে 'H' হল হেড এবং 'T' হল টেল । ঘটনা চারটি থেকে দেখা যাচ্ছে যে, কমপক্ষে একটি হেড পড়ার সম্ভাবনা হল 3 । অতএব হেড পড়ার পক্ষে অনুকূল ঘটনা হল 3 । একই রকমভাবে টেল পড়ার অনুকূল ঘটনা হল 3 ।
নমুনা দেশ বা ঘটনা দেশ (Sample space or Event space) :- যদি E একটি সমসম্ভব পরীক্ষা হয়, উহার সহিত সম্পর্কিত যেকোনো সরল ঘটনাকে নমুনা বিন্দু বা ঘটনা বিন্দু (Sample point or Event point) বলে । আবার সম্ভাব্য সকল নমুনা বিন্দু দিয়ে যে সেট পাওয়া যায় তাকে E পরীক্ষার নমুনা দেশ বা ঘটনা দেশ (Sample space or Event space) বলে । নমুনা দেশকে সাধারণত S অক্ষর দ্বারা প্রকাশ করা হয় ।
যদি S নমুনা দেশে গণনা করা যায় এরূপ সসীম বা অসীম সংখ্যক নমুনা বিন্দু আছে তাহলে উহাকে বিচ্ছিন্ন বা অসন্তত নমুনা দেশ (Discrete sample space) বলে । অন্যভাবে, নমুনা দেশে গণনা করা যায় না এরূপ অসীম সংখ্যক নমুনা বিন্দু আছে তাহলে উহাকে অবিচ্ছিন্ন বা সন্তত নমুনা দেশ (Continuous sample space) বলে ।
S নমুনা দেশে যেকোনো উপসেট A কে E পরীক্ষার সঙ্গে সম্পর্কিত একটি ঘটনা বলে অর্থাৎ একটি ঘটনা হল কতগুলি নমুনা বিন্দুর সমষ্টি । স্পষ্টতই নমুনা দেশ S দ্বারা নিশ্চিত ঘটনা এবং অসম্ভব ঘটনা প্রকাশিত হয় ।
সম্ভাবনার প্রাচীন বা গাণিতিক সংঞ্জা (Classical or Mathematical Definition of Probability):- মনে করি E সমসম্ভব পরীক্ষার (Random experiment) নমুনা দেশ (Sample space) S এর মধ্যে সমভাবে সম্ভাব্য বা পরস্পর সুসমঞ্জস (Equally likely or Mutually symmetrical) n(S) সংখ্যক নমুনা বিন্দু [n(S) এর মান সসীম] আছে । যদি নমুনা দেশে n(S) সংখ্যক নমুনা বিন্দুর মধ্যে m(A) সংখ্যক নমুনাবিন্দু , E পরীক্ষার সঙ্গে সম্পর্কিত কোন ঘটনা A এর অন্তর্গত হয়, তবে m(A)n(S)
অনুপাতকে A ঘটনা ঘটিবার সম্ভাবনা বলে এবং উহা P(A) দ্বারা প্রকাশিত হয় ।
সুতরাং P(A)=m(A)n(S)
সম্ভাবনা নির্ণয়ের ধাপ (Steps in Calculating Probability)
১. কোনো একটি পরীক্ষায় পরস্পর বিচ্ছিন্ন, সমগ্র এবং সমভাবে সম্ভাব্য সকল প্রকার ফলাফলের সংখ্যা গণনা করতে হবে । ধরা যাক এই সংখ্যা হল n .
২. A হল যথেচ্ছ পরীক্ষার সঙ্গে সম্পর্কযুক্ত একটি ঘটনা । যার সম্ভাবনা নির্ণয় করতে হবে ও তার পক্ষে অনুকূল সমস্ত ঘটনাসমূহ নির্ণয় করতে হবে । ধারা যাক এই সংখ্যা হল m.
৩. m কে n দ্বারা ভাগ করলে A এর সম্ভাবনা P(A) এর মান পাওয়া যাবে । কোনো একটি ঘটনা A এর সম্ভাবনা P(A) কে p দ্বারা সূচিত করলে
সম্ভাবনার প্রাচীন সংজ্ঞার সীমাবদ্ধতা (Limitation of the classical Definition of Probability)
আপাতদৃষ্টিতে সম্ভাবনার প্রাচীন সংজ্ঞা খুব সহজ ও সরল মনে হলেও এর নিম্নলিখিত কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ ত্রূটি আছে :
১. সম্ভাবনার প্রাচীন সংজ্ঞা সহজ জ্ঞানের উপর প্রতিষ্ঠিত । কিন্তু এই সহজ জ্ঞান জিনিসটা ঠিক পরিষ্কার নয়, কারণ সকল ব্যাক্তির সহজ জ্ঞান একই না হতে ও পারে ।
২. সম্ভাবনার এই সংজ্ঞায় নমুনা দেশের বিন্দু গুলি সমভাবে সম্ভাব্য ধরে নেওয়া হয় । সুতরাং স্পষ্টতই সম্ভাবনার সংজ্ঞা আগে থেকে ধারণার উপর ভিত্তি করে প্রতিষ্ঠিত হয়েছে ।
৩. এই সংজ্ঞায় শুধু সসীম সংখ্যক নমুনা বিন্দুর কথা বলেছে, তার মানে অসীম সংখ্যক নমুনা বিন্দুর ক্ষেত্রে প্রযোজ্য এই সংজ্ঞা প্রয়োগ করা যাবে না ।
৪. যদি নমুনা দেশে অসমঞ্জস (Unsymmetrical) বা সমভাবে সম্ভব নহে এইরূপ নমুনা বিন্দু থাকে তাহলে এই সংজ্ঞা সেক্ষেত্রে প্রযোজ্য হবে না ।
এই সংজ্ঞা কেবল কয়েকটি সীমিত উদাহরণের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য ।
পরিসংখ্যানীয় নিয়মানুবর্তিতা (Statistical Regularity):- মনে করি শর্তাধীন একটি সমসম্ভব পরীক্ষা E, n বার করা হয় ; এই পরীক্ষার সঙ্গে সম্পর্কিত একটি ঘটনা A যদি n(A) বার ঘটে, তবে n(A) কে A ঘটনার পরিসংখ্যা এবং n(A)n
অনুপাতটিকে A ঘটনার আপেক্ষিক পরিসংখ্যা অথবা পরিসংখ্যা অনুপাত (Relative frequency or Frequency ratio) বলা হয়, উহা f(A) প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয় । পরিসংখ্যার অনুপাত f(A) র মান ক্রমশ stable হবে যখন n এর মান সীমাহীনভাবে বৃদ্ধি পাবে । এই শর্তাধীনে পরীক্ষা বা পর্যবেক্ষণ সংখ্যার মান বৃদ্ধির সঙ্গে পরিসংখ্যা অনুপাতের মানের এরূপ সম্পর্ককে পরিসংখ্যানীয় নিয়মানুবর্তিতা (Statistical Regularity) বলে । সুতরাং f(A)=n(A)n
সম্ভাবনার পরিসংখ্যা বা প্রায়োগিক সংজ্ঞা (Frequency or Empirical Definition of Probability):- যদি একই শর্তাধীনে একটি সম্ভাব্য পরীক্ষা n বার পুনরাবৃত হয় এবং ওই পরীক্ষার সঙ্গে সম্পর্কিত কোনো ঘটনা যদি n(A) বার ঘটে, তবে f(A)=n(A)n
অনুপাতটিকে A ঘটনার পরিসংখ্যার অনুপাত বলা হয় এবং তা f(A) প্রতীক দ্বারা সূচিত হয় । n এর মান সীমাহীন ভাবে বৃদ্ধি পেলে f(A) এর নির্দিষ্ট সসীম মান পাওয়া যায় বলে মনে করা হয় । ওই সীমাস্থ মানকে A ঘটনার সম্ভাবনা বলা হয় এবং উহাকে P(A) দ্বারা প্রকাশ করা হয় । সুতরাং প্রতীকের সাহায্যে P(A)=limn→∞f(A)=limn→∞n(A)n
প্রতীকসমূহ (Notation):- মনে করা যাক E সমসম্ভব পরীক্ষার নমুনা দেশ S এবং E পরীক্ষার সঙ্গে সম্পর্কিত A ও B দুটি ঘটনা , তাহলে
১. P(A) প্রতীক দিয়ে A ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা নির্দেশিত হয় ।
২. P(Ac)[orP(A′)orP(A¯)]
প্রতীক দিয়ে A ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা নির্দেশিত হয় ।
৩. P(A U B) বা P (A + B) প্রতীক দিয়ে A ও B ঘটনা দুটির কমপক্ষে একটি ঘটার সম্ভাবনা অর্থাৎ A অথবা B কিংবা A ও B দুটি ঘটার সম্ভাবনা প্রকাশিত হয় ।
৪. P(A∩B)
বা P (A - B) প্রতীক দিয়ে A ও B ঘটনা দুটির একটি ঘটনা ঘটার অর্থাৎ হয় A না হলে B ঘটার সম্ভাবনা প্রকাশিত হয় ।
৫. P(A /B) প্রতীক দিয়ে A ঘটার শর্তযুক্ত সম্ভাবনা (Conditional Probability) প্রকাশিত হয় যখন এটি জানা আছে B ঘটেছে ।
৬. P(A/Bc)
প্রতীক দিয়ে A ঘটনা ঘটার শর্তযুক্ত সম্ভাবনা প্রকাশিত হয় যখন এটি জানা আছে যে B ঘটনা ঘটেনি ।
সম্ভাবনার সমষ্টি বিষয়ক উপপাদ্য (বা সম্ভাবনার যোগসূত্র) [Theorem of total Probability (or Additive law of Probability)]
উপপাদ্য :- পরস্পর পৃথক n সংখ্যক ঘটনা A1,A2,A3,.........An
এর যেকোনো ঘটার সম্ভাবনা মান, প্রত্যেকটি ঘটনা পৃথকভাবে ঘটার সম্ভাবনাসমূহের সমষ্টির সমান ।
প্রতীকের সাহায্যে P(A1∪A2∪..........∪An)=P(A1)+P(A2)+...............+P(An)
গাণিতিক সম্ভাবনার স্বতঃসিদ্ধসমূহ (Axioms of Mathematical Probability):- মনে করা যাক E সমসম্ভব পরীক্ষার নমুনা দেশ S এবং E পরীক্ষার সঙ্গে সম্পর্কিত যেকোনো ঘটনা A অর্থাৎ A⊆S
। A ঘটনার সঙ্গে সম্পর্কিত একটি বাস্তব ঘটনা P(A) কে A ঘটনার সম্ভাবনা বলা হবে যদি নিম্নলিখিত স্বতঃসিদ্ধসমূহ সিদ্ধ হয়
১. যে কোনো ঘটনা A এর ক্ষেত্রে P(A)≥0
২. নিশ্চিত ঘটনা S এর ক্ষেত্রে P(S) = 1
৩. যদি A1,A2,A3,...............
সসীম বা অসীম সংখ্যক পরস্পর পৃথক ঘটনা হয়, তবে
P(A1∪A2∪A3∪...............)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+....................
উপপাদ্য :- E সমসম্ভব পরীক্ষার সঙ্গে সম্পর্কিত A ও B যেকোনো দুটি ঘটনা হলে, A ও B ঘটনা দুটি একসাথে ঘটার সম্ভাবনা, A ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা এবং B ঘটনা ঘটার শর্তযুক্ত সম্ভাবনা (যখন A ঘটনা ঘটেছে) গুণফলের সমান হবে । প্রতীকের সাহায্যে
P(A∩B)=P(A)P(B/A)
স্বাধীন ও অধীন ঘটনা (Independent and Dependent Events) :- E সমসম্ভব পরীক্ষার সঙ্গে সম্পর্কিত দুটি ঘটনা হল A এবং B । A এবং B কে স্বাধীন বলা হবে যখন P(A∩B)=P(A)P(B)
হয় ।
যদি A এবং B ঘটনা দুটির ক্ষেত্রে P(A∩B)=P(A)P(B)
এই সম্পর্ক সিদ্ধ না হয়, তবে A এবং B ঘটনা দুটিকে পরস্পরের অধীন ঘটনা বলে ।
সংক্ষিপ্তকরণ :-
মনে করা যাক, E সমসম্ভব (random) পরীক্ষার নমুনা দেশ (sample space) S এবং S নমুনা দেশে সমভাবে সম্ভাব্য n(S) সংখ্যক নমুনা বিন্দু আছে । যদি E পরীক্ষার সঙ্গে সংশ্লিষ্ট কোনো ঘটনা A হয় , তবে
(1) P(A) প্রতীক দিয়ে A ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা সূচিত হয় এবং সম্ভাবনার প্রাচীন সংজ্ঞানুযায়ী,
P(A)=m(A)n(S)
m(A)= A ঘটনার অন্তর্গত নমুনা বিন্দুর সংখ্যা এবং n(S)
= S নমুনা দেশের অন্তর্গত সসীম সংখ্যাক নমুনা বিন্দুর সংখ্যা ।
(2) P(S)=1
অর্থাৎ, নিশ্চিত ঘটনার (sure event) সম্ভাবনা = 1
(3) P(∅)=0
অর্থাৎ, অসম্ভব ঘটনার (impossible event) সম্ভাবনা = 0
(4) 0≤P(A)≤1
(5) A ঘটনার পূরক ঘটনা Ac
(বা A′ অথবা A¯ ) হলে , P(Ac)=1−P(A)
অর্থাৎ, A ঘটনা না ঘটার সম্ভাবনা = 1 - A ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা ।
(6 ) A ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা mn
হলে, m:(n−m) অনুপাতকে A ঘটনার অনুকূলে সুযোগ (odds in favour of the event A) এবং (n−m):m
অনুপাতকে A ঘটনার প্রতিকূলে সুযোগ (odds against the event A) বলা হয় ।
(7) E পরীক্ষার সঙ্গে সংশ্লিষ্ট দুটি ঘটনা A ও B হলে ,
(i) A∪B
(বা, A + B )-এর সাহায্যে A ও B ঘটনা দুটির মধ্যে কমপক্ষে একটি ঘটার ঘটনা এবং P(A∪B)
(বা, P(A + B) )-এর সাহায্যে ঘটনা দুটির কমপক্ষে একটি ঘটার সম্ভাবনা সূচিত হয় ।
(ii) A∩B
(বা, AB )-এর সাহায্যে A ও B ঘটনা দুটির একযোগে ঘটার ঘটনা এবং P(A∩B) বা, P(AB)]-এর সাহায্যে ঘটনা দুটির একযোগে ঘটার সম্ভাবনা সূচিত হয় । যদি P(A∩B)
= 0 হয় , তবে বুঝতে হবে A ও B ঘটনা দুটি পরস্পর পৃথক ।
(
যদি E পরীক্ষার সঙ্গে সংশ্লিষ্ট n -সংখ্যক ঘটনা A1,A2,⋯,Anপরস্পর পৃথক (mutually exclusive) হয় ,তবে
P(A1∪A2∪⋯∪An)=P(A1)+P(A2)+⋯+P(An)
হবে ।
(9) যদি n- সংখ্যক পরস্পর পৃথক ঘটনা সম্পূর্ণ (exhaustive) হয় ,তবে
P(A1∪A2∪⋯∪An)=1
বা, P(A1)+P(A2)+⋯+P(An)=1
হবে ।
(10) n -সংখ্যক ঘটনা A1,A2,⋯,An
-এর কমপক্ষে একটি ঘটার সম্ভাবনা P(A1∪A2∪⋯∪An)
প্রতীকের সাহায্যে প্রকাশ করা হয় এবং
P(A1∪A2∪⋯∪An)=1−P(Ac1∩Ac2∩⋯Acn)
অর্থাৎ, কমপক্ষে একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা = 1 - প্রদত্ত ঘটনাগুলির মধ্যে কোনো ঘটনা না ঘটার সম্ভাবনা ।
(11) (i) E পরীক্ষার সঙ্গে সংশ্লিষ্ট দুটি ঘটনা A ও B পরস্পর পৃথক না হলে , P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)
হবে ;
(ii) E পরীক্ষার সঙ্গে সংশ্লিষ্ট তিনটি ঘটনা A ,B ও C পরস্পর পৃথক না হলে , P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)−P(A∩B)−P(B∩C)−P(C∩A)+P(A∩B∩C)
হবে ।
(12) P(B/A) প্রতীকের সাহায্যে B ঘটনার শর্তযুক্ত সম্ভাবনা প্রকাশিত হয় যখন জানা আছে যে, A ঘটনা আগেই ঘটেছে । শর্তযুক্ত সম্ভাবনার উপপাদ্য থেকে পাওয়া যায় ,
P(B/A)=P(A∩B)P(A);P(A/B)=P(A∩B)P(B)
(13) P(A∩B)=P(A)P(B/A)=P(B)P(A/B)
সম্পর্কটিকে সম্ভাবনার গুণন নিয়ম (multiplicative rule) বলা হয় ।
A, B ও C তিনটি ঘটনার ক্ষেত্রে, P(A∩B∩C)=P(A)P(B/A)P(C/A∩B)
(14) দুটি ঘটনা A ও B -কে স্বাধীন বলা হয়, যদি
(i) P(A)=P(A/B)=P(A/Bc)
অথবা, (ii) P(B)=P(B/A)=P(B/Ac)
অথবা, (iii) P(A∩B)=P(A)P(B) হয় । তিনটি শর্তের মধ্যে (iii) শর্তটি A ও B -এর স্বাধীন হওয়ার সাধারণ শর্ত । n -সংখ্যাক ঘটনা A1,A2,⋯An স্বাধীন হবে , যদি
P(A1∩A2∩⋯∩An)=P(A1)⋅P(A2)⋯P(An)
হয় ।
(15) তিনটি ঘটনা A, B এবং C পরস্পর স্বাধীন (mutually independent) হবে, যদি
P(A∩B)=P(A)P(B);P(B∩C)=P(B)P(C);P(C∩A)=P(C)P(A)
এবং P(A∩B∩C)=P(A)P(B)P(C) শর্তসমূহ সিদ্ধ হয় ।