গাণিতিক আরোহণ তত্ত্ব (Theory of Mathematical Induction)
সূচনা (Introduction):- সাধারণত আমরা কোনো সূত্র, অসমতা, উপপাদ্য ইত্যাদি প্রমাণে দুটি পদ্ধতি প্রয়োগ করি । এই দুটি পদ্ধতি হল (i) অবরোহণ বা অবরোহ (Deduction) এবং (ii) আরোহণ (Induction) ।
(i) অবরোহণ বা অবরোহ (Deduction) :- যে পদ্ধতির সাহায্যে আমরা সাধারণ নিয়ম থেকে বিশেষ নিয়ম প্রতিষ্ঠা করি, তাকে অবরোহণ বা অবরোহ (Deduction) বলে ।
(ii) আরোহণ (Induction) :- যে পদ্ধতির সাহায্যে আমরা বিশেষ নিয়ম থেকে সাধারণ নিয়ম প্রতিষ্ঠা করি, তাকে আরোহণ (Induction) বলে ।
এখানে কেবল গাণিতিক আরোহণ (Mathematical Induction) সম্পর্কে আলোচনা করা হয়েছে । পর্যবেক্ষণ থেকে এই পদ্ধতির সূচনা হয় । পর্যবেক্ষণ থেকে যে ধারণা পাওয়া যায়, তা প্রয়োগ করে যে সিদ্ধান্ত পাই, তাকে গাণিতিক বিবৃতি (Mathematical statement) বলে । এই গাণিতিক বিবৃতি সত্যি বা মিথ্যা দুই হতে পারে ।
গাণিতিক আরোহণ তত্ত্ব (Principle of Mathematical Induction):- ধরা যাক একটি স্বাভাবিক সংখ্যার সেট হল N = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ...................} এবং স্বাভাবিক সংখ্যা n সমন্বিত একটি গাণিতিক বিবৃতি হল P(n) এমন যে,
(i) P(1) সত্য অর্থাৎ n = 1 এ P(n) সত্য ।
এবং (ii) P(m) সত্য হলে P(m+1) সত্য হয় ।
তাহলে P(n) গাণিতিক বিবৃতি n এর সব মানে সত্য হবে, যেখানে n∈N
.
নিম্নোলিখিত পদ্বতির সাহয্যে, গণিতিক আরোহণ তত্বের প্ৰয়োগে স্বভাবিক সংখা n -সমন্বিত কোনো গাণিতিক সূত্রের প্রমাণ করা যায় :
প্রথমত, ধরা যাক, P(n ) = n -সমন্বিত গাণিতিক সম্মন্ধ (যা প্রশ্নে প্রমান করতে বলা হয়েছে).
দ্বিতীয়ত, n = 1 প্রয়োগ করে দেখা যায় যে P(n ) সত্য, যখন n≥1
;
n = 2 প্রয়োগ করে দেখা যায় যে P(n ) সত্য, যখন n≥2
; ইত্যাদি
তৃতীয়ত, মনে করা হয়, n এর কোনো বিশেষ মান m -এ P(n) সত্য
অবশেষে, n = m -এ P(n) সত্য এই অনুমান প্রয়োগ করা হয় যে, n = (m +1) -এ P(n) সত্য হবে.
উদাহরণ : গাণিতিক আরোহন প্রণালীর প্রয়োগে প্রমাণ করো যে, প্রথম n স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি হয়
16n(n+1)(2n+1)
.
সমাধান : মনে করি গাণিতিক বিবৃতিটি P(n) দ্বারা সূচিত হল । অর্থাৎ
P(n):12+22+32+.............+n2=16n(n+1)(2n+1)
যখন n =1, তখন
P(1):12=16×1×(1+1)(2×1+1)
দেখা যাচ্ছে 16×1×(1+1)(2×1+1)=16×2×3=1=12
সুতরাং n = 1 এর জন্য P(n) সত্য ।
আবার মনে করা হল n = m এর জন্য P(n) সত্য হবে । তাহলে
12+22+32+.............+m2=16m(m+1)(2m+1)
হবে ।
এখন আমাদের দেখতে হবে (m + 1) এর জন্য বিবৃতিটি সত্য হবে । অর্থাৎ
12+22+32+.............+m2+(m+1)2=16(m+1)(m+1+1)[2(m+1)+1]
হবে।
এখন 12+22+32+.............+m2+(m+1)2=16m(m+1)(2m+1)+(m+1)2=16(m+1)[m(2m+1)+6(m+1)]=16(m+1)[2m2+m+6m+6]=16(m+1)[2m2+7m+6]=16(m+1)[2m2+3m+4m+6]=16(m+1)[m(2m+2+1)+2(2m+2+1)]=16(m+1)(m+1+1)[2(m+1)+1]
স্পটতই বোঝা যাচ্ছে P(m) সত্য হলে P(m +1) সত্য হবে ।
যেহেতু P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m +1) সত্য সুতরাং গাণিতিক আরোহণ তত্ত্ব অনুযায়ী P(n) সত্য যখন n∈N
অর্থাৎ প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি ।
16n(n+1)(2n+1)
।
উদাহরণ : n∈N
হলে গাণিতিক আরোহণ প্রণালী তত্ত্বের সাহায্যে প্রমান করো যে ,
13+23+33+...........+n3=[n(n+1)2]2
সমাধান : মনে করি প্রদত্ত গাণিতিক বিবৃতিটি S(n) দ্বারা সূচিত হল । অর্থাৎ
S(n):13+23+33+...........+n3=[n(n+1)2]2
যখন n = 1, তখন
S(1):13=[1×(1+1)2]2
দেখা যাচ্ছে [1×(1+1)2]2=[22]2=1=13
অতএব n = 1 এর জন্য বিবৃতিটি সত্য ।
আবার মনে করি n = m এর জন্য S(n) সত্য । তাহলে
13+23+33+.........................+m3=[m(m+1)2]2
হবে ।
এখন আমাদের প্রমান করতে হবে m + 1 এর জন্য বিবৃতিটি সত্য । অর্থাৎ
13+23+33+.........................+m3+(m+1)3=[(m+1)(m+1+1)2]2
এখন 13+23+33+.........................+m3+(m+1)3=[m(m+1)2]2+(m+1)3=(m+1)2[m24+m+1]=(m+1)24[m2+4m+4]=(m+1)24(m+2)2=[(m+1)(m+1+1)2]2
অতএব দেখা যাচ্ছে S(m) সত্য হলে S(m+1) সত্য হবে ।
যেহেতু S(1) সত্য এবং S(m) সত্য হলে S(m +1) সত্য সুতরাং গাণিতিক আরোহণ তত্ত্ব অনুযায়ী S(n) সত্য যখন n∈N
অর্থাৎ
13+23+33+...........+n3=[n(n+1)2]2
Last edited by Admin on Mon Aug 10, 2020 11:01 am; edited 1 time in total